We rigorously show the sharp interface limit of a coupled Stokes/Cahn–Hilliard system in a two dimensional, bounded and smooth domain, i.e. we consider the limiting behavior of solutions when a parameter eps>0 corresponding to the thickness of the diffuse interface tends to zero. We show that for sufficiently short times the solutions to the Stokes/Cahn–Hilliard system converge to solutions of a sharp interface model, where the evolution of the interface is governed by a Mullins–Sekerka system with an additional convection term coupled to a two–phase stationary Stokes system with an extra contribution to the stress tensor, representing the capillary stress.

To show the sharp interface limit, we construct suitable approximate solutions to the Stokes/Cahn–Hilliard system, by devising an inductive scheme which allows for the construction of terms of arbitrarily high order in the formally matched asymptotic calculations. As a novelty, we also introduce fractional order terms, which are of significant importance. In order to estimate the difference between the exact and the approximate solutions, we make use of modifications of spectral estimates for the linearized Cahn-Hilliard operator. The treatment of the involved coupling terms poses several complications, which have to be overcome by intricate analysis.

Wir führen einen rigorosen Beweis für einen scharfen Grenzschicht-Limes eines gekoppelten Stokes/Cahn–Hilliard Systems in einem zweidimensionalen, beschränkten und glatten Gebiet. Dazu betrachten wir das Verhalten von Lösungen, wenn ein Parameter eps>0, welcher die Dicke der diffusen Grenzschichtregion beschreibt, gegen Null geht. Wir zeigen, dass Lösungen des Stokes/Cahn–Hilliard Systems für hinreichend kurze Zeiten gegen Lösungen eines scharfen Grenzschicht-Modells konvergieren, in welchem die Evolution der Grenzschicht durch ein Mullins–Sekerka System mit zusätzlichem Konvektionsterm bestimmt wird, welches an ein Zwei-Phasen Stokes System gekoppelt ist, das einen zusätzlichen, Kapillarkräfte repräsentierenden Term im Spannungstensor aufweist.

Um den scharfen Grenzschicht-Limes zu beweisen, konstruieren wir geeignete Approximationslösungen des Stokes/Cahn-Hilliard Systems mit Hilfe eines induktiven Schemas, welches es uns erlaubt, Terme beliebig hoher Ordnung in den Rechnungen zur formalen asymptotischen Entwicklung zu konstruieren. Als Neuerung führen wir zusätzlich Terme gebrochener Ordnung ein, die sich im Verlauf der Arbeit als zentrales Element herausstellen. Um die Differenz zwischen den exakten und approximativen Lösungen abschätzen zu können, nutzen wir eine Modifikation der Spektralabschätzung für den linearisierten Cahn–Hilliard Operator. Die Behandlung der vorkommenden Kopplungsterme wirft mehrere Schwierigkeiten auf, welche einer aufwendigen Analyse bedürfen.