In the first part of the thesis we consider an abelian variety A with totally degenerate reduction over an algebraically closed, non-trivially valued complete non-archimedean field K. This can be seen as a non-archimedean analogue of a complex torus. We give a lower bound for the dimension of the tropical Dolbeault cohomology groups of A^an and show in particular that they are non-trivial in non-negative degrees less than or equal to the dimension of A. The lower bound equals the dimension of the Dolbeault cohomology groups of a complex torus.

In the second part of the thesis we consider a smooth variety X over K. We study the tropical cycle class map from the Chow ring of X to tropical Dolbeault cohomology constructed by Yifang Liu. For a smoothly metrized line bundle (L, || ||) on X^an we show that the image of the first Chern class of L under the tropical cycle class map equals the (1,1)-cohomology class of the first Chern form associated to (L, || ||) using curvature.

Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir eine abelsche Varietät A mit total ausgearteter Reduktion über einem algebraisch abgeschlossenen, nicht-trivial bewerteten vollständigen nichtarchimedischen Körper K. Eine solche abelsche Varietät kann als das nicht-archimedische Analogon eines komplexen Torus gesehen werden. Wir beweisen eine untere Schranke für die Dimension der tropischen Dolbeault-Kohomologiegruppen von A^an und zeigen insbesondere, daß letztere Gruppen in positiven Graden bis zur Dimension von A, nichttrivial sind. Die untere Schranke entspricht der Dimension der Kohomologiegruppen eines komplexen Torus.

Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir eine glatte Varietät X über K. Wir studieren die tropische Zykelklassenabbildung vom Chowring von X in die tropische Dolbeault Kohomologie von Yifeng Liu. Sei (L, || ||) ein Gradenbündel versehen mit einer glatten Metrik auf X^an. Wir beweisen, dass das Bild der ersten Chernklasse von L unter der Zykelklassenabbildung, der (1,1)-Kohomologieklasse der zu (L,|| ||) als Krümmungsform assoziierten ersten Chernform entspricht.