We consider the sharp interface limit for the Allen-Cahn equation and some variants in a bounded smooth domain in the case of boundary contact. The Allen-Cahn equation is a diffuse interface model since (after a short generation time) solutions typically develop so-called diffuse interfaces, where the solution stays smooth but experiences steep gradients. Moreover, the equation contains a small parameter that corresponds to the thickness of the diffuse interfaces. The limit is called {sharp interface limit} because - at least heuristically - the solutions should converge to step functions with the jump set evolving in time according to some sharp interface problem. We show the rigorous sharp interface limit, i.e.~that solutions to the diffuse interface and the sharp interface model are related rigorously. The results are local in time and applicable as long as a smooth solution to the limit problem exists.

We consider the following cases:
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Convergence of the Allen-Cahn equation with Neumann boundary condition to the mean curvature flow with -contact angle in any dimension .
Convergence of the vector-valued Allen-Cahn equation involving different choices for the potential and with Neumann boundary condition to the mean curvature flow with -contact angle in any dimension , but without the triple junction situation. For this case we expect that a similar strategy works. We give some comments in this direction.
Convergence of an Allen-Cahn equation with a non-linear Robin boundary condition to the mean curvature flow with an -contact angle in 2D for close to .
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For the convergence proofs we use the method of de Mottoni, Schatzman {deMS}, i.e.~we
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Rigorously construct an approximate solution for the diffuse interface model with asymptotic expansions.
Estimate the difference of the exact and approximate solution to the diffuse interface model with a spectral estimate for a linear operator associated to the model.
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The major novelty in the thesis is the consideration of boundary contact for the diffuse interfaces within the method of {deMS}. Therefore we construct suitable curvilinear coordinates. Based on the latter we rigorously set up the asymptotic expansions. In this process new parameter-dependent elliptic problems on the half space in appear. For the -case these problems are solved with a splitting method in exponentially weighted Sobolev spaces. The latter seems not possible for angles and we use the Implicit Function Theorem with respect to in this case. Moreover, for the spectral estimate for the Allen-Cahn operator in every case (which is obtained by linearization at the approximate solution) we use a new idea: we construct an approximate first eigenfunction using asymptotic expansions. Then we split the space of -functions over the domain into a {small} explicit space formally approximating the first eigenfunctions and the complementing space. Finally, we analyze the associated bilinear form on every part.

Wir betrachten den scharfen Grenzschicht-Limes für die Allen-Cahn Gleichung und einige ihrer Varianten in einem beschränkten, glatten Gebiet im Fall von Randkontakt. Die Allen-Cahn Gleichung ist ein diffuses Grenzschicht-Modell, denn Lösungen der Gleichung bilden üblicherweise nach kurzer Zeit sogenannte diffuse Grenzschichten aus, in denen die Lösungen glatt bleiben, aber sich stark verändern. Hierbei enthält die Gleichung einen kleinen Parameter , der proportional zur typischen Dicke der erzeugten diffusen Grenzschichten ist. Der Limes heißt~ scharfer Grenzschicht-Limes, da - zumindest heuristisch - die Lösungen gegen Treppenfunktionen konvergieren sollten, deren Sprung gemäß eines scharfen Grenzschicht-Modells in der Zeit evolviert. Wir zeigen den rigorosen scharfen Grenzschicht-Limes, d.h.~dass Lösungen des diffusen und des scharfen Grenzschicht-Problems rigoros in Beziehung gesetzt werden. Die Resultate gelten lokal in der Zeit und sind anwendbar solange eine glatte Lösung für das scharfe Grenzproblem existiert.

Wir betrachten die folgenden Fälle:
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Konvergenz der Allen-Cahn Gleichung mit Neumann-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsflüss mit -Kontaktwinkel für alle Dimensionen .
Konvergenz der vektor-wertigen Allen-Cahn Gleichung mit mehreren Wahlen für das Potential und Neumann-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsflüss mit -Kontaktwinkel für alle Dimensionen , jedoch ohne den Fall von Tripel-Punkten. In diesem Fall erwarten wir, dass eine ähnliche Strategie funktioniert und wir bemerken einige Ideen hierzu.
Konvergenz der Allen-Cahn Gleichung mit nichtlinearer Robin-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsfluss mit -Kontaktwinkel in 2D für nahe .
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Für die Konvergenzresultate nutzen wir die Methode von de Mottoni, Schatzman {deMS}, d.h.~wir
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Konstruieren rigoros eine Approximationslösung für das diffuse Grenzschicht-Modell mit Hilfe von asymptotischen Entwicklungen.
Schätzen die Differenz der exakten Lösung und der Approximationslösung zum diffusen Grenzschicht-Modell ab, indem wir eine Spektralabschätzung für einen linearen Operator nutzen, der in natürlicher Weise zum Modell gehört.
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Die zentrale Neuheit in der Arbeit ist das Betrachten von Randkontakt für die diffuse Grenzschicht im Kontext der Methode von de Mottoni, Schatzman {deMS}. Zu diesem Zweck konstruieren wir geeignete krummlinige Koordinaten und bauen darauf die rigorosen asymptotischen Entwicklungen auf. Dabei kommen neue parameterabhängige elliptische Probleme auf dem Halbraum im vor. Im -Fall lösen wir diese mit einer Aufspaltungsmethode in exponentiell gewichteten Sobolev-Räumen. Letzteres scheint nicht möglich für , weshalb wir in diesem Fall den Satz von der Impliziten Funktion bezüglich verwenden. Außerdem nutzen wir für die Spektralabschätzung des Allen-Cahn-Operators in jedem Fall (diesen erhält man durch Linearisierung an der Approximationslösung) eine neue Idee: wir konstruieren eine approximative erste Eigenfunktion mittels asymptotischer Entwicklungen. Dann teilen wir den Raum der -Funktionen über dem Gebiet auf in einen~ kleineren~expliziten Raum, der formal die ersten Eigenfunktionen approximiert, und dessen Komplementärraum. Dann analysieren wir die zugehörige Bilinearform auf den jeweiligen Teilräumen.