We consider a thin rod Ωₕ := (0,L) × hS for some smooth domain S⊆ℝ² and study the limiting behaviour of a scaled elastic energy ℰ⁽ʰ⁾, which enforces periodic boundary conditions on the end faces, by means of Γ-convergence. The limiting energies are of von Kármán and linear type, respectively. We took into account the presence of external forces with zero tangential component. Furthermore, ...
Abstract (English)
We consider a thin rod Ωₕ := (0,L) × hS for some smooth domain S⊆ℝ² and study the limiting behaviour of a scaled elastic energy ℰ⁽ʰ⁾, which enforces periodic boundary conditions on the end faces, by means of Γ-convergence. The limiting energies are of von Kármán and linear type, respectively. We took into account the presence of external forces with zero tangential component. Furthermore, assuming that the elastic energy density satisfies |DW(F)|≤C(|F| + 1) for all n×n matrices F, we proved that local minimizers, for which ℰ⁽ʰ⁾ is bounded by Ch⁴, converge (for a subsequence) to stationary points of the limiting energy.
Subsequently, we regarded the dynamical evolution of the thin rod described by an appropriately scaled, nonlinear wave equation. Under the assumption of well prepared initial data and external forces, we proved that a solution exists for arbitrarily large times, if the diameter of the cross section is chosen sufficiently small. The scaling regime is such that the limiting equations are linear.
Finally, for a specific scaling, we constructed an approximation of the solution, using a suitable asymptotic expansion ansatz based upon solutions to the one-dimensional beam equation. Following this, we derive the existence of appropriately scaled initial data and can bound the difference between the analytical solution and the approximating sequence.
Translation of the abstract (German)
Wir betrachten für einen dünnen Stab Ωₕ := (0,L) × hS, wobei S⊆ℝ² ein glattes Gebiet sei, das Grenzverhalten einer skalierten, elastischen Energie ℰ⁽ʰ⁾, welche periodische Randbedingungen an den Enden vorschreibt. Die Grenzfunktionale sind von Kármán beziehungsweise lineare Energien. Hierbei haben wir externe Kräfte berücksichtigt, welche in tangentialer Richtung verschwinden. Des Weiteren ...
Translation of the abstract (German)
Wir betrachten für einen dünnen Stab Ωₕ := (0,L) × hS, wobei S⊆ℝ² ein glattes Gebiet sei, das Grenzverhalten einer skalierten, elastischen Energie ℰ⁽ʰ⁾, welche periodische Randbedingungen an den Enden vorschreibt. Die Grenzfunktionale sind von Kármán beziehungsweise lineare Energien. Hierbei haben wir externe Kräfte berücksichtigt, welche in tangentialer Richtung verschwinden. Des Weiteren zeigen wir unter der Bedingung, dass die elastische Energiedichte |DW(F)|≤C(|F| + 1) für alle n×n Matrizen F erfüllt, die Konvergenz von (einer Teilfolge von) lokalen Minimieren, für welche ℰ⁽ʰ⁾ durch Ch⁴ beschränkt ist, gegen stationäre Punkte der Grenzenergien.
Anschließend betrachten wir die dynamische Evolution von dünnen Stäben, welche durch eine geeignet skalierte Wellengleichung beschrieben werden. Unter der Annahme von passend skalierenden Anfangsdaten und externen Kräften haben wir gezeigt, dass die Lösung für beliebig große Zeiten existiert, wenn der Durchmesser des Querschnitts klein genug gewählt wird. Hierbei betrachten wir das Skalierungsregime, bei welchem die Grenzgleichungen linear sind.
Abschließend konstruieren wir für eine spezielle Skalierungswahl eine Näherungslösung mittels eines asymptotischen Expansionsansatzes, welcher auf der Lösung von einer eindimensionalen Balkengleichung beruht. Im Anschluss daran beweisen wir die Existenz von geeigneten Anfangswerten und schätzen die Differenz zwischen der analytischen Lösung und der Näherungsfolge ab.
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