Existence of Minimizers for Causal Variational Principles on Non-Compact Manifolds

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	28 September 2021
Referee:	Prof. Dr. Felix Finster
Date of exam:	21 September 2021
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Felix Finster
Keywords:	kausale Variationsprinzipien, Existenz von Minimierern, kausale Fermionsysteme, mathematische Physik
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	49327

Abstract (English)

The theory of causal fermion systems is a new approach to describe theoretical physics by means of a variational principle, the so-called causal action principle. It aims to provide a unified description of quantum mechanics and general relativity. Following the principle of least action, minimizers of the causal action principle in the class of regular Borel measures are considered as relevant ...

Abstract (English)

The theory of causal fermion systems is a new approach to describe theoretical physics by means of a variational principle, the so-called causal action principle. It aims to provide a unified description of quantum mechanics and general relativity. Following the principle of least action, minimizers of the causal action principle in the class of regular Borel measures are considered as relevant physical objects whose support is interpreted as physical spacetime. In order to analyze the existence theory of the causal action principle in sufficient generality, it is useful to consider more general causal variational principles. The variational principle is then to minimize integral expressions of an underlying non-negative Lagrangian on topological spaces in a suitable class of measures. The aim of this thesis is to analyze the existence of minimizers of causal variational principles on non- compact topological spaces in more detail. It is shown that, under suitable assumptions on the Lagrangian, the existence of minimizers in the class of regular Borel measures on non-compact second-countable locally compact Hausdorff spaces can be proven. Afterwards, this existence result is extended to causal variational principles on non-locally compact Polish subspaces of infinite-dimensional separable Banach spaces. Finally, for minimizers in the class of so-called strictly negative definite measures in the strong sense, the Euler-Lagrange equations in momentum space in the homogeneous setting are derived.

Translation of the abstract (German)

Die Theorie kausaler Fermionsysteme ist ein neuartiger Zugang zur Beschreibung theoretischer Physik mithilfe eines Variationsprinzips, das als kausales Wirkungsprinzip bezeichnet wird. Die Theorie ermöglicht eine mathematisch einheitliche Formulierung relativistischer Quantentheorie und Allgemeiner Relativitätstheorie. Dem Prinzip der kleinsten Wirkung folgend werden Minimierer des kausalen ...

Translation of the abstract (German)

Die Theorie kausaler Fermionsysteme ist ein neuartiger Zugang zur Beschreibung theoretischer Physik mithilfe eines Variationsprinzips, das als kausales Wirkungsprinzip bezeichnet wird. Die Theorie ermöglicht eine mathematisch einheitliche Formulierung relativistischer Quantentheorie und Allgemeiner Relativitätstheorie. Dem Prinzip der kleinsten Wirkung folgend werden Minimierer des kausalen Wirkungsprinzips in der Klasse der regulären Borel-Maße als physikalisch relevante Objekte aufgefasst, deren Träger als physikalische Raumzeit interpretiert wird. Zur Entwicklung und Analyse der Existenztheorie von Minimierern des kausalen Variationsprinzips in hinreichender Allgemeinheit erfolgt die Betrachtung allgemeinerer kausaler Variationprinzipien, bei welchen ein Wirkungsintegral über eine zugrundeliegende positive Lagrange-Funktion auf topologischen Räumen in einer geeigneten Klasse von Maßen minimiert wird. Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht in einer eingehenden Untersuchung der Existenz von Minimierern kausaler Variationsprinzipien auf nichtkompakten topologischen Räumen. Unter geeigneten Annahmen an die zugrundeliegende Lagrange-Funktion wird die Existenz von Minimierern kausaler Variationsprinzipien in der Klasse der regulären Borel-Maße auf nichtkompakten zweitabzählbaren lokalkompakten topologischen Hausdorff-Räumen bewiesen. Im Anschluss daran wird dieses Existenzresultat auf kausale Variationsprinzipien auf nichtlokalkompakten polnischen Unterräumen unendlich-dimensionaler separabler Banachräume übertragen. Im homogenen Fall werden schließlich die Euler-Lagrange-Gleichungen im Impulsraum für Minimierer in der Klasse sogenannter strikt negativ definiter Maße im starken Sinne hergeleitet.

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