Interaction of Mean Curvature Flow and a Diffusion Equation

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	15 Dezember 2021
Begutachter (Erstgutachter):	Prof. Dr. Helmut Abels und Prof. Dr. Harald Garcke
Tag der Prüfung:	1 Oktober 2021
Institutionen:	Nicht ausgewählt
Stichwörter / Keywords:	scaled mean curvature flow, diffusion equation, parabolic equation, coupling, short time existence, infinite existence time, self intersection
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	51215

Zusammenfassung (Englisch)

We consider a geometric problem consisting of an evolution equation for a closed hypersurface coupled to a parabolic equation on this evolving surface. More precisely, the evolution of the hypersurface is determined by a scaled mean curvature flow that depends on a quantity defined on the surface via a diffusion equation. This system arises as a gradient flow of a simple energy functional. ...

Zusammenfassung (Englisch)

We consider a geometric problem consisting of an evolution equation for a closed hypersurface coupled to a parabolic equation on this evolving surface. More precisely, the evolution of the hypersurface is determined by a scaled mean curvature flow that depends on a quantity defined on the surface via a diffusion equation. This system arises as a gradient flow of a simple energy functional.
Assuming suitable parabolicity conditions, we derive short-time existence for the system. The proof is based on linearization and a contraction argument. For this, we parameterize the hypersurface via a height function and thus the system, originally defined on an evolving surface, can be transformed onto a fixed reference surface. The result is formulated in a classical sense, holds for the case of embedded and immersed hypersurfaces alike and provides an existence time independent of small changes in the initial surface.
Afterwards, several properties of the solution are analyzed. Emphasis is placed on to what extent the surface in our setting evolves the same as for the usual mean curvature flow. To this end, we show that the surface area is stricly decreasing but give an example of a surface that exists for infinite times nevertheless. Moreover, mean convexity is conserved whereas convexity is not. Finally, we construct an embedded hypersurface that develops a self-intersection in the course of time.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Wir betrachten ein geometrisches Problem, bestehend aus einer Evolutionsgleichung für eine geschlossene Hyperfläche und einer an diese gekoppelte parabolische Gleichung auf der evolvierenden Fläche. Dabei unterliegt die Entwicklung der Hyperfläche einem skalierten mittleren Krümmungsfluss, der von einer Größe abhängt die wiederum durch eine Diffusionsgleichung auf der Fläche bestimmt ist. Dieses ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Wir betrachten ein geometrisches Problem, bestehend aus einer Evolutionsgleichung für eine geschlossene Hyperfläche und einer an diese gekoppelte parabolische Gleichung auf der evolvierenden Fläche. Dabei unterliegt die Entwicklung der Hyperfläche einem skalierten mittleren Krümmungsfluss, der von einer Größe abhängt die wiederum durch eine Diffusionsgleichung auf der Fläche bestimmt ist. Dieses System geht als Gradientenfluss aus einem einfachen Energiefunktional hervor.
Unter geeigneten Annahmen zur Sicherstellung der Parabolizität zeigen wir die Existenz von Lösungen für kurze Zeiten. Der Beweis beruht auf Linearisierung und einem Kontraktionsargument. Dafür parameterisieren wir die Hyperfläche mittels einer Höhenfunktion, wodurch das ursprünglich auf einer evolvierenden Fläche definierte System auf eine feste Referenzfläche überführt werden kann. Das Resultat ist im Sinne von klassischen Lösungen formuliert, gilt gleichermaßen für eingebettete sowie immersierte Hyperflächen und liefert eine von kleinen Änderungen der Anfangsfläche unabhängige Existenzzeit.
Anschließend werden verschiedene Eigenschaften der Lösung untersucht, unter besonderer Berücksichtigung der Frage inwiefern sich unsere Flächen wie beim normalen mittleren Krümmungsfluss verhalten. So nimmt etwa der Flächeninhalt streng monoton ab, aber wir können dennoch ein Beispiel für eine Fläche angeben, die für unendliche Zeiten existiert. Außerdem wird gezeigt, dass für eine Lösung die mittlere Konvexität erhalten bleibt, die Konvexität jedoch nicht. Schließlich konstruieren wir eine eingebettete Hyperfläche, die im Laufe der Zeit eine Selbstdurchdringung entwickelt.

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