We compute the second Mellin moments of parton distribution functions for the pion and rho meson from lattice QCD using improved Wilson fermions. Our results are presented in terms of singlet and non-singlet flavor combinations and, for the first time, take disconnected contributions fully into account. Besides condensing the common knowledge about spin-1 structure functions and parton distribution functions, we provide a detailed description of the software stack implemented by our group, in order to compute quark-line connected three-point functions using stochastic estimators. The main application is based on the factorization of the entire correlation function into two parts which are evaluated with open spin- (and to some extent flavor-) indices. This allows us to estimate the two contributions of the factorization simultaneously for many different initial and final states and momenta, with little computational overhead.

Our numerical analysis yields moments of the structure function (pion and rho) and of the structure function , providing additional contributions in the case of spin-1 particles. To this end we use 26 gauge ensembles, mainly generated by the CLS effort, with pion masses ranging from 214 MeV up to 420 MeV and with five different lattice spacings in the range of 0.05 fm to 0.1 fm in our numerical analysis. This choice of gauge configurations enables us to resolve the quark mass dependencies reliably, as well as to extrapolate to the continuum limit. However, due to the resonance character of the rho meson, our final results are possibly contaminated by additional two-pion states, which we also discuss. We present our results in the scheme at GeV
We find

v_2^{(u+d+s)} = 0.220 (207), v_2^{(u+d-2s)} = 0.344 (28),
a_2^{(u+d+s)} = 0.285 (295), a_2^{(u+d-2s)} = 0.384 (52),
d_2^{(u+d+s)} = 0.226 (124), d_2^{(u+d-2s)} = 0.163 (39),

for the second moment of the pion structure function , the second moment of the rho structure function , and the second moment of the rho structure function respectively.

Based on these values we finally conclude, that the valence quarks in the pion carry about 35% of the total momentum, in the rho the valence quarks carry about 40% of the total momentum, and the non-vanishing values for suggest that the quarks in the rho meson carry a substantial amount of orbital angular momentum.

Wir berechnen die zweiten Mellin Momente von Parton-Verteilungsfunktionen für das Pion und das Rho Meson mittels Gitter QCD Simulationen, unter Zuhilfenahme von Clover Fermionen. Unsere Ergebnisse werden als Singlet- und Non-Singlet Farbkombinationen angegeben und wir berücksichtigen erstmals die Beiträge von nicht zusammenhängenden Dreipunktfunktionen. Neben einer Einführung in Spin-1 Strukturfunktionen und Parton-Verteilungsfunktionen gehen wir insbesondere auf die während dieser Arbeit erstellten Computerprogramme ein, die benötigt werden, um zusammenhängende Dreipunktfunktionen mit Hilfe stochastischer Verfahren zu approximieren. Das Hauptaugenmerk richten wir dabei auf den Kern unserer Simulationssoftware, in dem wir die Korrelationsfunktion in zwei unabhängige Teile faktorisieren, um Teilergebnisse mit offenen Spin- und teilweise offenen Farb-Indizes zu produzieren. Dieses Vorgehen erlaubt es uns die beiden Beiträge der Faktorisierung gleichzeitig für viele verschiedene Anfangs- und Endzustände sowie Impulse zu simulieren, ohne die Gesamtrechenzeit merklich zu erhöhen.
Mit Hilfe unserer numerischen Analyse können wir Momente der Strukturfunktion (Pion und Rho) und der Strukturfunktion berechnen. Letztere liefert zustätzliche Beiträge für Spin-1 Teilchen. Zu diesem Zweck nutzen wir 26 verschiedene Ensembles an Eichfeldern, die großteils im Rahmen der CLS Initivative erzeugt wurden. Die Konfigurationen decken Pionmassen von 214 MeV bis 420 MeV und fünf verschiedene Gitterabstände zwischen 0.05 fm und 0.1 fm ab. Durch die Benutzung dieser Ensembles können wir Quarkmassen-Abhängigkeiten vollständig auflösen und außerdem eine Kontinuums-Extrapolationen durchführen. Insbesondere im Fall des Rho Mesons könnte jedoch dessen Resonanzcharakter und damit einhergehende Zwei-Pion-Zustände, zu einer Verfälschung der Ergebnisse führen. Dies wird in der Arbeit ausführlich diskutiert. Unsere Ergebnisse werden im Schema für GeV angegeben. Wir erhalten

v_2^{(u+d+s)} = 0.220 (207), v_2^{(u+d-2s)} = 0.344 (28),
a_2^{(u+d+s)} = 0.285 (295), a_2^{(u+d-2s)} = 0.384 (52),
d_2^{(u+d+s)} = 0.226 (124), d_2^{(u+d-2s)} = 0.163 (39),

für das zweite Moment der Pion Strukturfunktion , das zweite Moment der Rho Strukturfunktion und das zweite Moment der Rho Strukturfunktion . Aufgrund dieser Werte schließen wir, dass die Valenzquarks im Pion ungefähr 35% und im Rho Meson ungefähr 40% des Gesamtimpuls tragen. Der nicht verschwindende Wert für legt nahe, dass die Quarks im Rho Meson zusätzlich einen nicht vernachlässigbaren Drehimpulsanteil aufweisen.