A mathematical model for stress modulated growth and existence theorems in one spatial dimension

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	12 December 2022
Referee:	Prof. Dr. Georg Dolzmann
Date of exam:	21 July 2022
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Georg Dolzmann
Projects:	GRK 2339
Keywords:	biomechanics, growth, stress, morphoelasticity, multiplicative decomposition
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	53408

Abstract (English)

We investigate the model of stress modulated growth introduced in [AM02] in one dimension, which describes aspects of a growing tumour. In particular, the interaction of growth - described by an ODE - and the mechanical stress - within non-linear elasticity - is analysed. The key to the model is to understand and handle the ”natural configuration” - the tumour grown but not yet elastically ...

Abstract (English)

We investigate the model of stress modulated growth introduced in [AM02] in one dimension,
which describes aspects of a growing tumour. In particular, the interaction of growth - described
by an ODE - and the mechanical stress - within non-linear elasticity - is analysed. The key to
the model is to understand and handle the ”natural configuration” - the tumour grown but not
yet elastically deformed. Here, we use it as reference configuration for the elastic problem and
afterwards transform all variables to the initial set of the tumour.
In order to state existence and uniqueness by the Picard–Lindel¨of theorem, the stress has to
depend Lipschitz continuously on the growth. This is discussed in several settings in one dimension
for a linear ODE and generalized to arbitrary Lipschitz continuous RHS. Moreover,
regularity results are stated.
In addition, the difficulties in higher dimensions are discussed and examples of simple two dimensional
problems displayed.

Translation of the abstract (German)

Wir untersuchen das Modell von durch Spannungen beeinflusstesWachstums, welches in [AM02] eingef¨uhrt wurde. Es beschreibt Aspecte von wachsenden Tumoren. Genauer wird das Zusammenspiel von Wachstum - beschrieben von einer gew¨ohnlichen DGL - und den mechanischen Spannungen - im Rahmen nichtlinearer Elastizit¨at - analysiert. Der Kernpunkt ist, die ”nat¨urliche Konfiguration” - den ...

Translation of the abstract (German)

Wir untersuchen das Modell von durch Spannungen beeinflusstesWachstums, welches in [AM02]
eingef¨uhrt wurde. Es beschreibt Aspecte von wachsenden Tumoren. Genauer wird das Zusammenspiel
von Wachstum - beschrieben von einer gew¨ohnlichen DGL - und den mechanischen
Spannungen - im Rahmen nichtlinearer Elastizit¨at - analysiert. Der Kernpunkt ist, die
”nat¨urliche Konfiguration” - den gewachsenen aber noch nicht elastisch deformierten Tumor -
zu verstehen und damit umzugehen. Wir benutzen diese Konfiguration als die Referenzkonfiguration
des elastischen Problems und transformieren alle Variablen auf die initiale Menge des
Tumors.
Um Existenz und Eindeutigkeit mit dem Picard–Lindel¨of Theorem zu beweisen, m¨ussen die
Spannungen lipschitzstetig von dem Wachstum abh¨angen. Dies wir in mehreren Situationen in
einer Dimension f¨ur eine lineare, gew¨ohnliche DGL diskutiert und auf beliebige lipschitzstetige
rechte Seiten verallgemeinert. Außerdem werden Regularit¨atsresultate diskutiert.
Zus¨atzlich werden die Schwierigkeiten des Modells in h¨oheren Dimensionen diskutiert und
Beispiele f¨ur einfache, zweidimensionale Situationen aufgef¨uhrt.

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