The 2016 Nobel Prize in Physics was awarded to David Thouless, F. Haldane, and J. Kosterlitz for "theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter." Since then, new opportunities have emerged, e.g., the robust edge states in topological insulators could significantly reduce heat generation due to their reduced resistance in electrical devices. In the main part of the dissertation we will focus, moreover, on the application of edge states as waveguides in an electron quantum optical setup. When the waveguides are attached to a chaotic cavity one expects the emergence of universal signatures of chaotic scattering, explored in this thesis for the first time in this topological scenario. We go beyond extensive simulations based on numerical techniques, and present semiclassical results. Together with experimental results, a holistic view of universal scattering correlators in various systems ranging from trivial to nontrivial insulators is presented here.

The second part provides a new model to simulate the local density of states of the (un)perturped quantum corral. Furthermore we investigate the bonding characteristics of a AFM tip to the mesoscopic wave function of the quantum corral.

Der Nobelpreis für Physik 2016 wurde David Thouless, F. Haldane und J. Kosterlitz für "theoretische Entdeckungen von topologischen Phasenübergängen und topologischen Phasen der Materie" verliehen. Seitdem haben sich daraus neue Möglichkeiten ergeben, z. B. können die robusten Randzustände in topologischen Isolatoren die Wärmeentwicklung aufgrund ihres geringeren Widerstands in elektrischen Geräten erheblich reduzieren. Im Hauptteil der Dissertation werden wir uns auf die Anwendung von Randzuständen als Wellenleiter in einem Aufbau der Elektronquantenoptik konzentrieren. Wenn die Wellenleiter mit einem chaotischen Hohlraum verbunden sind, erwartet man das Auftreten von universellen Signaturen chaotischer Streuung, die in dieser Arbeit zum ersten Mal in diesem topologischen Szenario untersucht werden. Wir gehen über umfangreiche Simulationen auf der Grundlage numerischer Techniken hinaus und präsentieren semiklassische Ergebnisse. Zusammen mit experimentellen Ergebnissen wird hier ein ganzheitlicher Blick auf universelle Streukorrelatoren in verschiedenen Systemen, von trivialen bis hin zu nicht-trivialen Isolatoren, präsentiert.

Der zweite Teil bietet ein neues Modell zur Simulation der lokalen Zustandsdichte des (un)gestörten Quantenkorrals. Außerdem untersuchen wir die Bindungseigenschaften einer AFM-Spitze an die messoskopische Wellenfunktion des Quantenkorrals.