Higher and Quantum Invariants of Knots

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	15 March 2023
Referee:	Dr. Lukas Lewark
Date of exam:	9 February 2023
Institutions:	Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Stefan Friedl
Keywords:	low-dimensional topology, knot theory, Khovanov homology, Z[G]-homology, Casson-Gordon invariants, knot concordance, slice genus, stable 4-genus, twisted homology, twist knots, Frobenius algebras, TQFT, unknotting number, rational unknotting number, rational tangles
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	53903

Abstract (English)

The aim of this thesis is to contribute towards the theory of higher and quantum invariants of knots. It is divided into two parts. The first part deals with higher invariants, in which we derive a lower bound on the stable 4-genus of knots using Casson-Gordon invariants, and use it to study knot concordance. The second part is concerned with contributions towards quantum invariants. We use a ...

Abstract (English)

The aim of this thesis is to contribute towards the theory of higher and quantum invariants of knots. It is divided into two parts. The first part deals with higher invariants, in which we derive a lower bound on the stable 4-genus of knots using Casson-Gordon invariants, and use it to study knot concordance. The second part is concerned with contributions towards quantum invariants. We use a variation of Khovanov homology called Z[G]-homology to define a new knot invariant that takes non-negative integer values and provides a lower bound on the proper rational unknotting number of a knot, which in turn is a lower bound for the ordinary unknotting number. Alongside, we provide detailed introductions to the mathematical theories and tools used in both parts of the thesis.

Translation of the abstract (German)

Die vorliegende Dissertation stellt einen Beitrag zu der Theorie der höheren und Quanteninvarianten von Knoten dar. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil handelt von höheren Invarianten, in welchem wir eine untere Schranke für das stabile 4-Geschlecht eines Knotens mittels Casson-Gordon Invarianten herleiten, und diese nutzen um Konkordanz von Knoten zu studieren. Der zweite ...

Translation of the abstract (German)

Die vorliegende Dissertation stellt einen Beitrag zu der Theorie der höheren und Quanteninvarianten von Knoten dar. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil handelt von höheren Invarianten, in welchem wir eine untere Schranke für das stabile 4-Geschlecht eines Knotens mittels Casson-Gordon Invarianten herleiten, und diese nutzen um Konkordanz von Knoten zu studieren. Der zweite Teil befasst sich mit Quanteninvarianten. Wir benutzen eine Variation von Khovanov-Homologie, genannt Z[G]-Homologie, um eine neue Knoteninvariante zu definieren welche nicht-negative ganzzahlige Werte annimmt und eine untere Schranke für die eigentlich rationale Entknotungszahl eines Knotens liefert, welche wiederum eine untere Schranke für die gewöhnliche Entknotungszahl ist. Zusätzlich bieten wir eine detaillierte Einführung in die mathematischen Theorien und Werkzeuge, die in beiden Teilen der Arbeit verwendet werden.

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