Higher and Quantum Invariants of Knots

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	15 März 2023
Begutachter (Erstgutachter):	Dr. Lukas Lewark
Tag der Prüfung:	9 Februar 2023
Institutionen:	Mathematik Mathematik > Prof. Dr. Stefan Friedl
Stichwörter / Keywords:	low-dimensional topology, knot theory, Khovanov homology, Z[G]-homology, Casson-Gordon invariants, knot concordance, slice genus, stable 4-genus, twisted homology, twist knots, Frobenius algebras, TQFT, unknotting number, rational unknotting number, rational tangles
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	53903

Zusammenfassung (Englisch)

The aim of this thesis is to contribute towards the theory of higher and quantum invariants of knots. It is divided into two parts. The first part deals with higher invariants, in which we derive a lower bound on the stable 4-genus of knots using Casson-Gordon invariants, and use it to study knot concordance. The second part is concerned with contributions towards quantum invariants. We use a ...

Zusammenfassung (Englisch)

The aim of this thesis is to contribute towards the theory of higher and quantum invariants of knots. It is divided into two parts. The first part deals with higher invariants, in which we derive a lower bound on the stable 4-genus of knots using Casson-Gordon invariants, and use it to study knot concordance. The second part is concerned with contributions towards quantum invariants. We use a variation of Khovanov homology called Z[G]-homology to define a new knot invariant that takes non-negative integer values and provides a lower bound on the proper rational unknotting number of a knot, which in turn is a lower bound for the ordinary unknotting number. Alongside, we provide detailed introductions to the mathematical theories and tools used in both parts of the thesis.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Die vorliegende Dissertation stellt einen Beitrag zu der Theorie der höheren und Quanteninvarianten von Knoten dar. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil handelt von höheren Invarianten, in welchem wir eine untere Schranke für das stabile 4-Geschlecht eines Knotens mittels Casson-Gordon Invarianten herleiten, und diese nutzen um Konkordanz von Knoten zu studieren. Der zweite ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Die vorliegende Dissertation stellt einen Beitrag zu der Theorie der höheren und Quanteninvarianten von Knoten dar. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil handelt von höheren Invarianten, in welchem wir eine untere Schranke für das stabile 4-Geschlecht eines Knotens mittels Casson-Gordon Invarianten herleiten, und diese nutzen um Konkordanz von Knoten zu studieren. Der zweite Teil befasst sich mit Quanteninvarianten. Wir benutzen eine Variation von Khovanov-Homologie, genannt Z[G]-Homologie, um eine neue Knoteninvariante zu definieren welche nicht-negative ganzzahlige Werte annimmt und eine untere Schranke für die eigentlich rationale Entknotungszahl eines Knotens liefert, welche wiederum eine untere Schranke für die gewöhnliche Entknotungszahl ist. Zusätzlich bieten wir eine detaillierte Einführung in die mathematischen Theorien und Werkzeuge, die in beiden Teilen der Arbeit verwendet werden.

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