Parts of this thesis have already been published in the works [13] and [15] (sometimes in a slightly modified version) and are mostly joint work with the respective co-authors.
Similarly, some parts of this thesis will likely soon be published in the work [14] (sometimes in a slightly modified version) and are mostly joint work with the respective co-authors. Here the references are with respect to the unpublished version of January 29, 2024.

In this thesis we define and study the fermionic entanglement entropy for spatial subregions in Schwarzschild and Minkowski spacetime. Our starting point is always the Dirac propagator corresponding to the vacuum state (for an observer at infinity). We then introduce an ultraviolet regularization and rewrite the respective propagator as pseudo-differential operator. In Schwarzschild spacetime we consider the entanglement entropy of a black hole horizon. We use separation of variables, an integral representation of the propagator and methods from pseudo-differential operator calculus to explicitly compute the entanglement entropy of the horizon in the limiting case that the regularization tends to zero. It turns out that it equals a numerical constant times the number of angular momentum modes occupied at the horizon. A similar result is proven to hold for the Rényi entanglement entropies with Rényi index κ > 2/3.
In the case of Minkowski spacetime we study the entanglement entropy of bounded spatial subregions. We consider two limiting cases: one where the regularization goes to zero and one where the regularization is fixed and the size of the region tends to infinity. The corresponding limiting coefficient is obtained by applying a more general result from [15]. We then show the positivity of this coefficient and prove that it is proportional to the area of the considered region, giving an area law. The positivity is also proven to hold for the Rényi entanglement entropies with R´enyi index 0 < κ < 2, the other main results in this part even apply for arbitrary Rényi entanglement entropies (with κ > 0).

Teile dieser Arbeit wurden bereits in den Arbeiten [13] und [15] (teilweise in leicht modifizierter Version) veröffentlicht und sind zum Großteil gemeinsame Arbeit mit den jeweiligen Co-Autoren.
Ebenso werden Teile dieser Arbeit voraussichtlich bald in der Arbeit [14] veröffentlicht und sind zum Großteil gemeinsame Arbeit mit den jeweiligen Co-Autoren. Hierbei beziehen sich die Referenzen auf die unveröffentlichte Version vom 29. Januar 2024.

Wir definieren und untersuchen die fermionische Verschränkungsentropie für räumliche Teilmengen in Schwarzschild- und Minkwoski-Raumzeit. Unser Ausgangspunkt ist in jedem Fall der Dirac Propagator für den Vakuumzustand (aus der Sicht eines Beobachters im Unendlichen). Wir führen dann eine ultraviolett-Regularisierung ein und drücken den Propagator als Pseudodifferentialoperator aus. In der Schwarzschild-Raumzeit betrachten wir die Verschränkungsentropie des Horizonts des schwarzen Lochs. Wir verwenden Trennung der Variablen, eine Integraldarstellung des Propagators und Methoden aus der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren um die Verschränkungsentropie des Horizonts in dem Grenzfall, dass die Regularisierung gegen Null strebt, explizit zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass diese bis auf eine numerische Konstante proportional zur Anzahl der der besetzten Winkelmoden am Horizont ist. Ein ähnliches Resultat ergibt sich für die Rényi Verschränkungsentropien mit Rényi Index κ > 2/3.
Im Fall der Minkowski-Raumzeit beschäftigen wir uns mit der Verschränkungsentropie von beschränkten räumlichen Teilmengen. Wir betrachten zwei verschiedene Grenzfälle: Im einen lassen wir die Regularisierung gegen null gehen, im anderen fixieren wir die Regularisierung und lassen das Größe der betrachteten Region gegen unendlich streben. Wir erhalten einen Ausdruck für die führende Ordnung durch ein allgemeineres
Resultat aus [15]. Wir zeigen dann, dass dieser Ausdruck positiv ist und proportional zur Oberfläche der betrachteten Region skaliert, was zu einem Oberflächengesetz führt. Die Positivität wird außerdem für die Rényi Verschränkungsentropien mit Rényi Index κ < 2 bewiesen. Die anderen Hauptresultate in diesem Teil können sogar auf alle Rényi Verschränkungsentropien (mit κ > 0) angewendet werden.