The Linearised Einstein Equations on Lorentzian Manifolds

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (Bachelorarbeit)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	7 November 2024
Referee:	Prof. Dr. Bernd Ammann
Date of exam:	28 April 2023
Institutions:	Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Bernd Ammann
Keywords:	Einstein manifold, Lorentzian manifold, Gravitational wave
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	59366

Abstract (English)

In General Relativity, the space-time of the universe is described as a four-dimensional Lorentzian manifold whose metric tensor satisfies the Einstein equations. These are nonlinear and therefore hard to solve. However, small perturbations of the metric can also be modelled using the linearised Einstein equations. This allows, for example, for the description of the propagation of gravitational ...

Abstract (English)

In General Relativity, the space-time of the universe is described as a four-dimensional Lorentzian manifold whose metric tensor satisfies the Einstein equations. These are nonlinear and therefore hard to solve. However, small perturbations of the metric can also be modelled using the linearised Einstein equations. This allows, for example, for the description of the propagation of gravitational waves in the vacuum.
In this paper, the linearised Einstein equations shall be derived, and afterwards the existence and uniqueness of their solutions for the Cauchy problem shall be studied. Mathematically, these are not wave equations. Due to a linearised diffeomorphism invariance, they admit many “gauge solutions”, which are not measurable and yield physically indistinguishable space-times. Therefore, the uniqueness result only holds “up to gauge”, and to prove the existence result, an auxiliary wave equation must be solved.
On physical grounds, it need not be expected that the initial data or the solutions of the equations are smooth. For this reason, the results are shown for tensors with arbitrary real Sobolev degree.

Translation of the abstract (German)

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit des Universums als vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit beschrieben, deren metrischer Tensor die Einstein-Gleichungen erfüllt. Diese sind nichtlinear und somit schwer lösbar. Kleine Störungen der Metrik können aber gut auch mithilfe der linearisierten Einsteingleichungen modelliert werden. Dies ermöglicht zum Beispiel die Beschreibung ...

Translation of the abstract (German)

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit des Universums als vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit beschrieben, deren metrischer Tensor die Einstein-Gleichungen erfüllt. Diese sind nichtlinear und somit schwer lösbar. Kleine Störungen der Metrik können aber gut auch mithilfe der linearisierten Einsteingleichungen modelliert werden. Dies ermöglicht zum Beispiel die Beschreibung der Ausbreitung von Gravitationswellen im Vakuum.
In dieser Arbeit sollen die Einsteingleichungen linearisiert und dann Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen für das Cauchy-Problem studiert werden. Es handelt sich dabei im mathematischen Sinn nicht um Wellengleichungen. Aufgrund einer linearisierten Diffeomorphismus-Invarianz besitzen sie viele “Eichlösungen”, die nicht messbar sind und zu physikalisch ununterscheidbaren Raumzeiten führen. Das Eindeutigkeitsresultat gilt deswegen nur “bis auf Eichung”, und um das Existenzresultat zu zeigen, muss eine Hilfs-Wellengleichung gelöst werden.
Es ist physikalisch nicht zu erwarten, dass die Anfangsdaten oder die Lösung der Gleichungen glatt sind. Aus diesem Grund werden die Resultate für Tensoren mit beliebigem reellen Sobolev-Grad gezeigt.

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