In this thesis, we study systems of nonlinear partial differential equations that can be used to describe phase separation. This process can be modeled from both a macroscopic and microscopic point of view. Typically, the macroscopic model contains a local differential operator, which accounts for short-range interactions. In the microscopic model, however, this operator is then replaced by a ...
Abstract (English)
In this thesis, we study systems of nonlinear partial differential equations that can be used to describe phase separation. This process can be modeled from both a macroscopic and microscopic point of view. Typically, the macroscopic model contains a local differential operator, which accounts for short-range interactions. In the microscopic model, however, this operator is then replaced by a nonlocal operator, which describes long-range interactions between the particles. This is done by convolution integrals weighted by suitable interaction kernels.
In the first part, we analyze the asymptotic behavior of the nonlocal operator in the case, when the corresponding interaction kernel concentrates around the origin suitably. We prove that the nonlocal operator converges to a local differential operator as the parameter in the interaction kernel is sent to zero. More precisely, we even provide concrete rates of convergence depending on this parameter. The analysis is done in the case of sufficiently smooth bounded domains and a large class of interaction kernels. Indeed, the kernel can be either anisotropic or isotropic as well as of -regularity or even more singular. The convergence is shown with respect to the -norm, where . The proof is based on localization and perturbation arguments. In the case of regular kernels, we also prove convergence on the torus with respect to the -norm. This proof is based on methods from Fourier analysis.
In the second part, we focus on models, where two different phases are separated by a diffuse interface. We intend to apply the results from the first part to show that solutions to the nonlocal model converge to a solution to the local model as the parameter in the nonlocal operator is sent to zero. More precisely, we prove strong convergence for the sequence of solutions along with certain rates of convergence. This is done using an energy method.
We consider the following models:
- Cahn-Hilliard equation
- Allen-Cahn equation
- Cahn-Hilliard model for tumor growth
- Cahn-Hilliard/Navier-Stokes system
Finally, we also investigate the case, where both the parameter in the nonlocal operator and the thickness of the diffuse interface are sent to zero suitably. The analysis is done for the nonlocal Allen--Cahn equation on the torus. We first prove a well-posedness result and suitable error estimates for the solutions. Then, we combine the convergence result from the first part together with existing results for the sharp interface limit of the local Allen--Cahn equation.
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit untersuchen wir Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, die zur Beschreibung der Phasentrennung verwendet werden können. Dieser Prozess kann sowohl vom makroskopischen als auch vom mikroskopischen Standpunkt aus modelliert werden. Typischerweise enthält das makroskopische Modell einen lokalen Differentialoperator, der die Wechselwirkungen über kurze Distanzen ...
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit untersuchen wir Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, die zur Beschreibung der Phasentrennung verwendet werden können. Dieser Prozess kann sowohl vom makroskopischen als auch vom mikroskopischen Standpunkt aus modelliert werden. Typischerweise enthält das makroskopische Modell einen lokalen Differentialoperator, der die Wechselwirkungen über kurze Distanzen berücksichtigt. Im mikroskopischen Modell wird dieser Operator dann jedoch durch einen nichtlokalen Operator ersetzt, der die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen über große Entfernungen beschreibt. Dies geschieht durch Faltungsintegrale, die durch geeignete Wechselwirkungskerne gewichtet werden.
Im ersten Teil analysieren wir das asymptotische Verhalten des nichtlokalen Operators für den Fall, dass der entsprechende Wechselwirkungskern sich in geeigneter Weise um den Ursprung konzentriert. Wir beweisen, dass der nichtlokale Operator gegen einen lokalen Differentialoperator konvergiert, wenn sich der Parameter im Wechselwirkungskern der Null nähert. Insbesondere zeigen wir sogar konkrete Konvergenzraten in Abhängigkeit von diesem Parameter. Die Analyse wird für hinreichend glatte beschränkte Gebiete und einer großen Klasse von Wechselwirkungskernen durchgeführt. Der Kern kann entweder anisotrop oder isotrop sowie von -Regularität oder noch singulärer sein. Die Konvergenz wird bezüglich der -Norm gezeigt, wobei . Der Beweis basiert auf Lokalisierungs- und Störungsargumenten. Im Falle von regulären Kernen wird auch die Konvergenz auf dem Torus bezüglich der -Norm bewiesen. Dieser Beweis basiert auf Methoden der Fourier-Analyse.
Im zweiten Teil konzentrieren wir uns auf Modelle, bei denen zwei verschiedene Phasen durch eine diffuse Grenzschicht getrennt sind. Wir wollen die Ergebnisse aus dem ersten Teil verwenden, um zu zeigen, dass die Lösungen des nichtlokalen Modells zu einer Lösung des lokalen Modells konvergieren, wenn sich der Parameter des nichtlokalen Operators der Null nähert. Genauer gesagt beweisen wir die starke Konvergenz für die Folge von Lösungen zusammen mit bestimmten Konvergenzraten. Dies geschieht mit Hilfe einer Energiemethode.
Wir betrachten die folgenden Modelle:
- Cahn-Hilliard Gleichung
- Allen-Cahn Gleichung
- Cahn-Hilliard Modell für Tumorwachstum
- Cahn-Hilliard/Navier-Stokes System
Schließlich untersuchen wir auch den Fall, in dem sich sowohl der Parameter im nichtlokalen Operator als auch die Dicke der diffusen Grenzschicht in geeigneter Weise der Null nähern. Die Analyse wird für die nichtlokale Allen--Cahn Gleichung auf dem Torus durchgeführt. Wir beweisen zunächst ein Wohlgestelltheitsergebnis und geeignete Fehlerschätzungen für die Lösungen. Dann kombinieren wir das Konvergenzergebnis aus dem ersten Teil mit bestehenden Ergebnissen für den scharfen Grenzschichtlimes der lokalen Allen--Cahn Gleichung.
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