The phase diagram of QCD is a central research topic in modern particle physics. Its calculation, however, is notoriously difficult especially when not only nonzero temperatures but also non-vanishing baryon densities are considered – as is relevant for heavy‑ion collisions or inside large neutron stars. At the theoretical level, nonzero baryon densities are achieved by introducing a nonzero chemical potential , which creates a particle-antiparticle asymmetry. It turns out that for nonzero chemical potential, the fermion determinant is no longer real but complex, and therefore standard approaches based on importance sampling break down. In the literature, this is commonly referred to as the sign problem. In order to circumvent this sign problem, a variety of methods has been proposed. Examples include a Taylor expansion in , reweighting, complex Langevin, thimbles or path optimization. Nevertheless, none of the proposed remedies can successfully reach regimes in which , and therefore even today the full QCD phase diagram in the plane cannot be calculated.

There is a promising further approach, called tensor-network approach, that differs crucially from all of the aforementioned approaches. In this approach, the partition function is written as a contraction of a large number of local tensors. Of special relevance is the higher order tensor renormalization group (HOTRG) approach, which can be applied for arbitrary number of dimensions, and in particular its generalization, the Grassmann HOTRG (GHOTRG) approach, which is applicable to theories including fermions. Recently, GHOTRG was tailored to strong-coupling QCD using one flavor of staggered quarks in two dimensions. It was observed that, for a non‑zero chemical potential, no numerical instabilities arise. In this thesis, we go beyond both the strong-coupling limit and the single-flavor case. We express the partition function of lattice QCD with staggered fermions in the strong-coupling expansion in terms of a tensor network. This is done for an arbitrary number of dimensions, flavors, and orders of the strong-coupling expansion. Further, the GHOTRG approach is extended such that every coefficient of the partition function can be calculated separately. Finally, numerical results in two dimensions are studied.

Das Phasendiagramm der QCD ist ein zentrales Forschungsthema der modernen Teilchenphysik. Seine Berechnung ist jedoch bekanntermaßen schwierig, insbesondere wenn nicht nur Temperaturen ungleich Null, sondern auch nicht verschwindende Baryondichten berücksichtigt werden – was bei Schwerionenkollisionen oder im Inneren großer Neutronensterne relevant ist. Auf theoretischer Ebene werden Baryonendichten ungleich Null durch die Einführung eines chemischen Potentials ungleich Null erreicht, wodurch eine Asymmetrie zwischen Teilchen und Antiteilchen entsteht. Es zeigt sich, dass bei einem chemischen Potential ungleich Null die Fermion-Determinante nicht mehr reell, sondern komplex ist, weshalb Standardansätze auf der Grundlage von Importance-Sampling versagen. In der Literatur wird dies gemeinhin als Vorzeichenproblem bezeichnet. Um dieses Vorzeichenproblem zu umgehen, wurden verschiedene Methoden vorgeschlagen. Beispiele hierfür sind die Taylor-Entwicklung in , reweighting, komplexes Langevin, Thimbles oder die Pfadoptimierung. Dennoch kann keines der vorgeschlagenen Verfahren erfolgreich Bereiche erreichen, in denen gilt, weshalb das vollständige QCD-Phasendiagramm in der -Ebene auch heute noch nicht berechnet werden kann.

Es gibt einen vielversprechenden weiteren Ansatz, den sogenannten Tensornetzwerk-Ansatz, der sich entscheidend von allen zuvor genannten Ansätzen unterscheidet. Bei diesem Ansatz wird die Zustandssumme als Kontraktion einer großen Anzahl lokaler Tensoren dargestellt. Von besonderer Bedeutung ist der higher order tensor renormalization group (HOTRG) Ansatz, der für eine beliebige Anzahl von Dimensionen angewendet werden kann, und insbesondere dessen Verallgemeinerung, der Grassmann HOTRG (GHOTRG) Ansatz, der auf Theorien mit Fermionen anwendbar ist. Vor kurzem wurde GHOTRG auf strong-coupling QCD für einen flavor mit staggered quarks in zwei Dimensionen angepasst. Dabei wurde festgestellt, dass bei einem von Null verschiedenen chemischen Potential keine numerischen Instabilitäten auftreten. In dieser Arbeit gehen wir sowohl über den Grenzfall des strong-couplings als auch über den Fall mit einem einzigen Flavor hinaus. Wir drücken die Zustandssumme der Gitter-QCD mit staggered Fermionen in der strong-coupling-Entwicklung als Tensornetzwerk aus. Dies geschieht für eine beliebige Anzahl von Dimensionen, Flavors und Ordnungen der strong-coupling-Entwicklung. Darüber hinaus wird der GHOTRG-Ansatz so erweitert, dass jeder Koeffizient der Zustandssumme separat berechnet werden kann. Schließlich werden numerische Ergebnisse in zwei Dimensionen untersucht.