Über die Zetafunktion von Formen von Fermatgleichungen

Abstract (German)

Wir untersuchen 'Formen der Fermatgleichung' über einem zunächst beliebigen Körper K, d.h. homogene Gleichungen vom Grad d in n Variablen, die nach einer linearen Variablensubstitution über dem algebraischen Abschluß von K in die Fermatgleichung X_1^d + ... + X_n^d übergehen. Wir klassifizieren diese Gleichungen mit Hilfe der Methode des Galois-Descent und erhalten, da jede kubische Gleichung in ...

Abstract (German)

Wir untersuchen 'Formen der Fermatgleichung' über einem zunächst beliebigen Körper K, d.h. homogene Gleichungen vom Grad d in n Variablen, die nach einer linearen Variablensubstitution über dem algebraischen Abschluß von K in die Fermatgleichung X_1^d + ... + X_n^d übergehen. Wir klassifizieren diese Gleichungen mit Hilfe der Methode des Galois-Descent und erhalten, da jede kubische Gleichung in zwei Variablen eine Form der Fermatgleichung ist, insbesondere eine vollständige und explizite Klassifikation solcher sogenannten 'kubischen binären Formen'. Für den Fall, daß K ein endlicher Körper ist und entweder d=3 und n<=4 gilt oder K die d-ten Einheitswurzeln enthält, berechnen wir für beliebige Formen der Fermatgleichung die induzierte Galoisdarstellung der zugehörigen Hyperfläche auf der l-adischen Kohomologie und damit insbesondere die Zeta-Funktion.

Translation of the abstract (English)

We study 'forms of the Fermat equation' over an arbitrary field K, i.e. homogenous equations of degree d in n unknowns that can be transformed into the Fermat equation X_1^d + ... + X_n^d by a suitable linear change of variables over an algebraic closure of K. Using the method of Galois descent, we classify all such forms. Particularly, seeing as every cubic equation in two unknowns is a form of ...

Translation of the abstract (English)

We study 'forms of the Fermat equation' over an arbitrary field K, i.e. homogenous equations of degree d in n unknowns that can be transformed into the Fermat equation X_1^d + ... + X_n^d by a suitable linear change of variables over an algebraic closure of K. Using the method of Galois descent, we classify all such forms. Particularly, seeing as every cubic equation in two unknowns is a form of the Fermat equation, we get a complete and explicit classification of all such so called 'cubic binary forms'. In the case that K is a finite field and either d=3 and n<=4 or K contains the d-th roots of unity, we compute the Galois representation on l-adic cohomology (and so in particular the zeta function) of the hypersurface associated to an arbitrary form of the Fermat equation.

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