Let $r>2$ be an integer and let $K$ be a field in which $r!$ is invertible. An $r$-form over $K$ is an equivalence class of regular finite-dimensional $K$-multilinear forms of degree $r$. The operation of direct sums allows the definition of a Witt Grothendieck group of $r$-forms over $K$. It becomes a ring with the multiplication induced by the tensor product of $r$-forms. The properties of the ...
Zusammenfassung (Englisch)
Let be an integer and let be a field in which is invertible. An -form over is an equivalence class of regular finite-dimensional -multilinear forms of degree . The operation of direct sums allows the definition of a Witt Grothendieck group of -forms over . It becomes a ring with the multiplication induced by the tensor product of -forms. The properties of the Witt Grothendieck ring of -forms for are quite different from the quadratic case. For example, we have unique sum decomposition, but no diagonalization, and there is an invariant commutative -algebra called the center of an -form, which in unknown to the theory of quadratic forms. We study invariants of -forms. One way to obtain invariants is Galois descent: We obtain a Galois cohomological classification for forms of the Fermat equation, which can also be described as so-called separable forms arising in a natural way from separable extensions of . This description allows the definition of cohomological invariants for separable -forms, one of them being equal to the previously mentioned center invariant. We also obtain two invariants called permanent and determinant, the second being only defined if is even, both with values in the group . We find that the determinant can be computed by a formula in the coefficients of the -form, which is a generalization of the Leibniz formula for the quadratic determinant and which has already studied by Cayley and others in the 19th century. This extends the determinant to arbitrary -forms of even degree. Another classical invariant for -forms is the discriminant, a homogenous polynomial in the coefficients of an -forms, which vanishes if and only if the corresponding projective hypersurface is singular. We find that the discriminant of a separable -form is essentially equal to its permanent if is odd, and to its determinant if is even. To check if these invariants just depend on the motive of the -form, we analyze a formula computing the zeta function of a separable -form over a finite field and obtain a comparison result relating the zeta function and the discriminant of a separable -form over a finite field. Finally we discuss the consequences of the obtained results with respect to a possible definition of hyperbolic -forms.
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Sei $r >2$ eine ganze Zahl und sei $K$ ein Körper, in dem $r!$ invertierbar ist. Ein $r$-Form über $K$ ist eine Äquivalenzklasse regulärer endlich-dimensionaler $K$-multilinearer Formen vom Grad $r$ über $K$. Die Verknüpfung durch direkte Summen liefert die Definition einer Witt Grothendieck Gruppe der $r$-Formen über $K$, und mit der Multiplikation durch das Tensorprodukt bildet diese einen ...
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Sei eine ganze Zahl und sei ein Körper, in dem invertierbar ist. Ein -Form über ist eine Äquivalenzklasse regulärer endlich-dimensionaler -multilinearer Formen vom Grad über . Die Verknüpfung durch direkte Summen liefert die Definition einer Witt Grothendieck Gruppe der -Formen über , und mit der Multiplikation durch das Tensorprodukt bildet diese einen Ring. Der Witt Grothendieck Ring der -Formen im Fall unterscheidet sich bedeutend vom quadratischen Fall. Zum Beispiel haben wir eindeutige Summenzerlegung, aber keine Diagonalisierung, und eine -Form besitzt eine invariante kommutative -Algebra, das sogenannte Zentrum, für das es in der Theorie der quadratischen Formen keine Entsprechung gibt. Wir studieren Invarianten der -Formen. Eine Methode, Invarianten zu erhalten, ist der Galoissche Abstieg: Wir erhalten eine Galoiskohomologische Klassifikation für alle Formen der Fermat-Varietät, die sogenannten separablen -Formen. Für diese Formen haben wir eine weitere Beschreibung, die man in natürlicher Weise aus separablen -Algebren erhält. Die Klassifikation liefert verschiedene kohomologische Invarianten für separable -Formen, von denen Eine identisch zur eingangs erwähnten Zentrum-Invariante ist. Zwei weitere Invarianten sind die Permanente und die Determinante, die beide Werte in der Gruppe annehmen und von denen die Letztere nur für gerades definiert ist. Wir stellen fest, das die Determinante durch eine Formel in den Koeffizienten berechnet wird, welche eine direkte Verallgemeinerung der Leibniz-Formel für quadratische Determinanten ist und bereits im 19ten Jahrhundert von Cayley und anderen betrachtet wurde. So erhalten wir eine Definition der Determinante für beliebige -Formen von geradem Grad. Eine weitere Invariante der -Formen ist die Diskriminante, ein Polynom in den Koeffizienten der -Form, welches genau dann verschwindet, wenn die zugehörige projektive Hyperfläche singulär ist. Wir stellen fest, dass die Diskriminante einer separablen -Form durch die Permanente berechnet wird, wenn ungerade ist, und durch die Determinante, wenn gerade ist. Um zu prüfen, ob diese Invarianten nur vom Motiv einer -Form abhängen, analysieren wir eine Formel für die Zetafunktion einer separablen -Form über einem endlichen Körper und erhalten ein Resultat, das die Zetafunktion und die Diskriminante einer separablen -Form über einem endlichen Körper in Beziehung setzt. Schließlich diskutieren wir die Ergebnisse im Hinblick auf eine mögliche Definition der hyperbolischen -Formen.
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