Non-trivial bounded harmonic functions on Cartan-Hadamard manifolds of unbounded curvature

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis we study the existence of non-trivial bounded harmonic functions on certain Cartan-Hadamard manifolds $M$ for which the Dirichlet Problem at infinity is not solvable. Hereby we use the fact that there is a one-to-one correspondence between the space of all bounded harmonic functions on $M$ and the set of all bounded functions, which are measurable with respect to the shift ...

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis we study the existence of non-trivial bounded harmonic functions on certain Cartan-Hadamard manifolds $M$ for which the Dirichlet Problem at infinity is not solvable. Hereby we use the fact that there is a one-to-one correspondence between the space of all bounded harmonic functions on $M$ and the set of all bounded functions, which are measurable with respect to the shift invariant $\sigma$ -field, up to equivalence. Ancona (1994, using probabilistic methods) and Borbely (1998 with analytic methods) constructed examples of Cartan-Hadamard manifolds for which the Dirichlet problem at infinity is not solvable. We show that almost surely Brownian motion on the manifold of Borbely exits from the manifold at a single point at the sphere at infinity, i.e. from the probabilistic point of view the examples of Ancona and Borbely are essentially the same. Moreover we show that on both manifolds there are non-trivial exit sets for the Brownian motion,i.e. non-trivial shift invariant events and hence there exist non-trivial bounded harmonic functions. In the case of the manifold of Borbely the asymptotic behaviour of the Brownian motion even yields two "independent" non-trivial shift-invariant random-variables hence the Martin boundary has to be at least of dimension two. We give a geometric interpretation how this behaviour of the Brownian motion can be visualized via a change of coordinates.
Last we use the manifold of Ancona to construct further examples of Cartan-
Hadamard manifolds with unbounded curvature where the asymptotic behaviour
of the Brownian motion can be "predetermined" whereas there exist non-trivial
bounded harmonic functions.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von nichttrivialen beschränkten harmonischen Funktionen auf gewissen Cartan-Hadamard Mannigfaltigkeiten $M$, für die das Dirichlet-Problem bei Unendlich nicht lösbar ist. Wichtigstes Hilfsmittel ist hierbei die Tatsache, dass beschränkte harmonische Funktionen auf $M$ eineindeutig (bis auf Äquivalenz) den beschränkten Funktionen entsprechen, die ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von nichttrivialen beschränkten
harmonischen Funktionen auf gewissen Cartan-Hadamard Mannigfaltigkeiten $M$ , für die das Dirichlet-Problem bei Unendlich nicht lösbar ist. Wichtigstes Hilfsmittel ist hierbei die Tatsache, dass beschränkte harmonische Funktionen auf $M$ eineindeutig (bis auf Äquivalenz) den beschränkten Funktionen entsprechen, die meßbar sind bezüglich der shift-invarianten $\sigma$ -Algebra. Ancona konstruierte 1994 mit probabilistischen Methoden und Borbely 1998 mit analytischen Methoden ein Beispiel für eine Cartan-Hadamard-Mannigfaltigkeit,
für die das Dirichlet Problem bei Unendlich nicht lösbar ist. Wir zeigen, dass im Falle der Mannigfaltigkeit von Borbely die Brownsche Bewegung diese fast sicher in einem einzigen Punkt auf der Sphäre bei Unendlich verläßt. Dies zeigt, dass die Beispiele von Ancona und Borbely vom stochastischen Standpunkt aus nahezu identisch sind. Wir zeigen weiter, dass es auf beiden Mannigfaltigkeiten nichttriviale Austrittsmengen der Brownschen Bewegung und somit nichttriviale
shift-invariante Ereignisse gibt. Dies beweist die Existenz von nichttrivialen beschränkten harmonischen Funktionen. Darüberhinaus zeigen wir im Falle des Beispiels von Borbely, dass man durch Betrachtung des asymptotischen Verhaltens der Brownschen Bewegung sogar zwei "unabhängige" nichttriviale shift-invariante Zufallsvariablen erhält. Der Martin-Rand dieser Mannigfaltigkeit muß also mindestens Dimension zwei haben. Wir zeigen mit Hilfe einer Koordinatentransformation auf der Mannigfaltigkeit, wie man dieses asymptotische Verhalten der Brownschen Bewegung geometrisch interpretieren und veranschaulichen kann.
Zuletzt konstruieren wir mit Hilfe der Mannigfaltigkeit von Ancona Beispiele für Cartan-Hadamard Mannigfaltigkeiten mit unbeschränkter Krümmung, auf denen das asymptotische Verhalten der Brownschen Pfade "vorbestimmt" werden kann, die aber dennoch nichttriviale beschränkte harmonische Funktionen besitzen.

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