Zeta functions of local orders

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	21 February 2006
Referee:	Uwe (Prof. Dr.) Jannsen
Date of exam:	8 February 2006
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Uwe Jannsen
Keywords:	Zetafunktion , Kommutative Algebra , algebraische Kurve , algebraische Geometrie , Funktionalgleichung , , zeta functions , local orders , algebraic curves
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	10418

Abstract (English)

The zeta-functions associated with algebraic curves over finite fields encode many arithmetic properties of the curves. In the non-singular case the theory is well-known. It is analogous to the theory of zeta-functions for number fields and culminates in the Hasse-Weil theorem about the Riemann hypothesis for curves. In the singular case, the theory is more difficult and less explored.First of ...

Abstract (English)

The zeta-functions associated with algebraic curves over finite fields encode many arithmetic properties of the curves. In the non-singular case the theory is well-known. It is analogous to the theory of zeta-functions for number fields and culminates in the Hasse-Weil theorem about the Riemann hypothesis for curves. In the singular case, the theory is more difficult and less explored.First of all, one does not deal with Dedekind rings anymore, but with orders, i.e., certain subrings of them. The corresponding theory of(fractional) ideals becomes much more complicated. Secondly, there are various candidates for the zeta-function. We follow here the approach of K. O. Stöhr. His zeta function is defined in terms of positive ideals, and it has a functional equation and an Euler product. It differs from the zeta function of the associated smooth curve (the mormalization) only in the finitely many factors at the singular points. Therefore it suffices to study the zeta functions of local (singular) orders, which is the topic of this thesis. After discussing some general results we concentrate on the rational unibranch case, i.e., the case where the associated maximal order is local again, with residue field equal to the ground field. Extending results of Stöhr, we provide tools to calculate these zeta-functions in an effective way. Using this we determine the zeta functions for all orders of singularity degree at most 3, and for a series of orders which we cal balanced. Then we study when the Riemann hypothesis hold for the considered orders. Stöhr has given examples where it fails. We show that the Riemann hypothesis holds for al balanced orders, but give some evidence that it fails in all other cases.

Translation of the abstract (German)

Die Zetafunktionen von algebraischen Kurven über endlichen Kurven verschlüsseln viele arithmetische Invarianten der Kurven. Ihre Theorie ist wohlbekannt im nicht-singulären Fall. Sie ist dann analog zur Theorie der Zetafunktionen von Zahlkörpern und gipfelt im Satz von Hasse und Weil, der die Riemannschen Vermutung für Kurven zeigt. Im Fall singulärer Kurven ist die Theorie schwieriger und ...

Translation of the abstract (German)

Die Zetafunktionen von algebraischen Kurven über endlichen Kurven verschlüsseln viele arithmetische Invarianten der Kurven. Ihre Theorie ist wohlbekannt im nicht-singulären Fall. Sie ist dann analog zur Theorie der Zetafunktionen von Zahlkörpern und gipfelt im Satz von Hasse und Weil, der die Riemannschen Vermutung für Kurven zeigt. Im Fall singulärer Kurven ist die Theorie schwieriger und weniger untersucht. Erstens handelt es sich nicht mehr um Dedekindringe, sondern um Ordnungen, d.h., gewisse Unterringe in ihnen. Die zugehörige Theorie von (gebrochenen) Idealen wird sehr viel schwieriger. Zweitens gibt es mehrere Kandidaten für eine Zetafunktion. Wir folgen hier dem Ansatz von K. O. Stöhr. Seine Zetafunktion wird mit Hilfe von positiven Idealen definiert, sie besitzt eine Funktionalgleichung und ein Eulerprodukt. Sie unterscheidet sich nur durch in den Faktoren an den endlich vielen singulären Punkten von der klassischen Hasse-Weil-Zetafunktion der assoziierten glatten Kurve (die man durch Normalisierung erhält). Deshalb genügt es, die Zetafunktionen von lokalen (singulären) Ordnungen zu studieren, die das Thema der vorliegenden Dissertation sind. Nach Diskussion einiger allgemeiner Resultate konzentrieren wir uns auf den rationalen einzweigigen Fall, d.h., den Fall wo die assoziierte Hauptordnung wieder lokal ist, mit Restklassenkörper gleich dem Grundkörper. Indem wir Resultate von Stöhr erweitern, entwickeln wir Methoden zur effektiven Berechnung der dieser Zetafunktionen. Wir benutzen dies, um die Zetafunktionen für alle Ordnungen vom Singularitätengrad höchstens 3 zu bestimmen, und für eine Serie von Ordnungen, die wir ausgewogen (balanced) nennen. Dann studieren wir, wann die Riemannsche Vermutung für die betrachteten Ordnungen gilt. Stöhr hat Beispiele gegeben, wo dies nicht der Fall ist. Wir zeigen, dass die Riemannsche Vermutung für alle ausgewogenen Ordnungen gilt, aber geben Evidenz dafür, dass sie in allen anderen Fällen nicht gilt.

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