Bierweiterungen für algebraische Zykel und Poincarébündel

Zusammenfassung (Deutsch)

Seien $X$ und $S$ glatte, projektive $k$-Varietäten der Dimension $d_X$ bzw. $d_S$ und $\pi\colon X\rightarrow S$ ein flacher, projektiver, surjektiver Morphismus, der über einer offenen, dichten Teilmenge $S'\subset S$ glatt ist. Sind $p,q\in\mathbb{N}$ mit $p+q=d_X-d_S+1$, so wird in dieser Arbeit für die von Bloch in [Bl1] definierte $\mathbb{G}_{\textrm{m},S}$-Bierweiterung $\mathbb{E}$ der ...

Zusammenfassung (Deutsch)

Seien $X$ und $S$ glatte, projektive $k$ -Varietäten der Dimension
$d_X$ bzw. $d_S$ und $\pi\colon X\rightarrow S$ ein flacher,
projektiver, surjektiver Morphismus, der über einer offenen, dichten
Teilmenge $S'\subset S$ glatt ist. Sind $p,q\in\mathbb{N}$ mit
$p+q=d_X-d_S+1$ , so wird in dieser Arbeit für die von Bloch in [Bl1]
definierte $\mathbb{G}_{\textrm{m},S}$ -Bierweiterung $\mathbb{E}$
der $S$ -Garbe $\underline{\textrm{CH}}^p_{\textrm{hom}}(X/S)\times \underline{\textrm{CH}}^q_{\textrm{hom}}(X/S)$ eine neue Definition
über Kozykeldaten gegeben und es werden ihre Torseure berechnet.

Ist $S=\textrm{Spec}(k)$ mit $k$ ein algebraisch abgeschlossener
Körper, so betrachte man die nicht trivialen, kanonischen
Abbildungen von den Zykeln algebraisch äquivalent zu Null in die
Picard- bzw. Albanese-Varietät $\theta^1\colon \textrm{A}^1(X) \rightarrow|(\textrm{Pic}^0_{X/k})_{\textrm{red}}|$ und
$\theta_0\colon \textrm{A}^1(X)\rightarrow |\textrm{Alb}(X)|$ .
Weiterhin sei mit $\mathbb{P}$ die Poincaré-Bierweiterung von
$|(\textrm{Pic}^0_{X/k})_{\textrm{red}}|\times|\textrm{Alb}(X)|$
bezeichnet. Dann wird in dieser Arbeit gezeigt, dass der Pullback
$(\theta^1\times\theta_0)^*\mathbb{P}$ als Bierweiterung kanonisch
isomorph zu $\mathbb{E}$ ist. Allgemeiner wird der Zusammenhang
zwischen Poincaré- und Blochscher Bierweiterung auch für höhere
Picardvarietäten beschrieben.

$\vspace$ {0,5cm}

[Bl1] $\textsc$ {Bloch, S.;} Cycles and biextensions; Contemporary
Mathematics 83 (1989); p. 19-30;

Übersetzung der Zusammenfassung (Englisch)

Let $X$ and $S$ be smooth, projective $k$-varieties of dimension $d_X$ resp. $d_S$. Let $\pi\colon X\rightarrow S$ be a flat, projective, surjective morphism, which is smooth over an open, dense subset $S'\subset S$. Fix $p,q\in\mathbb{N}$ with $p+q=d_X-d_S+1$. In this article we work with the $\mathbb{G}_{\textrm{m},S}$-biextension $\mathbb{E}$ of the $S$-sheaf ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Englisch)

Let $X$ and $S$ be smooth, projective $k$ -varieties of dimension
$d_X$ resp. $d_S$ . Let $\pi\colon X\rightarrow S$ be a flat,
projective, surjective morphism, which is smooth over an open, dense
subset $S'\subset S$ . Fix $p,q\in\mathbb{N}$ with $p+q=d_X-d_S+1$ .
In this article we work with the
$\mathbb{G}_{\textrm{m},S}$ -biextension $\mathbb{E}$ of the
$S$ -sheaf $\underline{\textrm{CH}}^p_{\textrm{hom}}(X/S)\times \underline{\textrm{CH}}^q_{\textrm{hom}}(X/S)$ defined by S. Bloch
in [Bl1]. To be precise we give a new definition of this biextension
by co-cycles and calculate its torsors.

If $S=\textrm{Spec}(k)$ and $k$ is an algebraically closed field, we
consider the nontrivial, canonical maps from the cycles
algebraically equivalent to zero into the Picard-variety resp. the
Albanese-variety $\theta^1\colon \textrm{A}^1(X) \rightarrow|(\textrm{Pic}^0_{X/k})_{\textrm{red}}|$ and
$\theta_0\colon \textrm{A}^1(X)\rightarrow |\textrm{Alb}(X)|$ . We
denote by $\mathbb{P}$ the Poincaré-biextension of
$|(\textrm{Pic}^0_{X/k})_{\textrm{red}}|\times|\textrm{Alb}(X)|$ .
Than we show that the pullback
$(\theta^1\times\theta_0)^*\mathbb{P}$ is as a biextension
canonically isomorphic to $\mathbb{E}$ . More general we study the
connection between Poincaré- und Bloch-biextensions for higher
Picard-varieties, too.

$\vspace$ {0,5cm}

[Bl1] $\textsc$ {Bloch, S.;} Cycles and biextensions; Contemporary
Mathematics 83 (1989); p. 19-30;

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