Volume-Preserving Mean Curvature and Willmore Flows with Line Tension

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	12 December 2013
Referee:	Prof. Dr. Helmut Abels
Date of exam:	28 November 2013
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Helmut Abels
Keywords:	Mean Curvature Flow, Willmore Flow, dynamic boundary conditions, well-posedness, stability
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	29195

Abstract (English)

We show the short-time existence and uniqueness of solutions for the motion of an evolving hypersurface in contact with a solid container driven by volume-preserving Mean Curvature Flow (MCF) and line tension effect on the boundary. Difficulties arise due to the non-local nature of the resulting second order, nonlinear PDE, which will be overcome by a perturbation result from semigroup theory. In ...

Abstract (English)

We show the short-time existence and uniqueness of solutions for the motion of an evolving hypersurface in contact with a solid container driven by volume-preserving Mean Curvature Flow (MCF) and line tension effect on the boundary. Difficulties arise due to the non-local nature of the resulting second order, nonlinear PDE, which will be overcome by a perturbation result from semigroup theory. In addition, we prove the same result for the Willmore flow with line tension, which results in a nonlinear PDE of fourth order. For both flows we will use a Hanzawa transformation to write the flows as graphs over a fixed reference hypersurface. We finish the thesis with an application of the generalized principle of linearized stability to prove stability of spherical caps under the volume-preserving Mean Curvature Flow with line tension.

Translation of the abstract (German)

Wir zeigen die Kurzzeitexistenz und Eindeutigkeit von Lösungen für die Bewegung einer evolvierenden Hyperfläche in Kontakt mit einem festen Behälter, welche durch den volumenerhaltenden mittleren Krümmungsfluss mit Linienspannung am Rand getrieben wird. Schwierigkeiten treten durch die nicht-lokale Natur der resultierenden nichtlinearen Partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung auf, welche ...

Translation of the abstract (German)

Wir zeigen die Kurzzeitexistenz und Eindeutigkeit von Lösungen für die Bewegung einer evolvierenden Hyperfläche in Kontakt mit einem festen Behälter, welche durch den volumenerhaltenden mittleren Krümmungsfluss mit Linienspannung am Rand getrieben wird. Schwierigkeiten treten durch die nicht-lokale Natur der resultierenden nichtlinearen Partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung auf, welche gelöst werden durch ein Störungsargument aus der Halbgruppentheorie. Außerdem zeigen wir das gleiche Resultat für den Willmore-Fluss mit Linienspannung, was zu einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung führt. Für beide Flüsse verwenden wir eine Hanzawa Transformation um sie als Graphen über einer fixierten Referenzmannigfaltigkeit zu schreiben. Wir beenden die Dissertation mit einer Anwendung des Verallgemeinerten Prinzips der Linearisierten Stabilität um die Stabilität von Kugelkappen unter dem volumenerhaltenden mittleren Krümmungsfluss mit Linienspannung zu zeigen.

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