Universal geometrizations and the intrinsic eta-invariant

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	1 June 2015
Referee:	Prof. Dr. Ulrich Bunke
Date of exam:	8 May 2015
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Ulrich Bunke
Keywords:	bordism, geometrizations, eta-invariant
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	31888

Abstract (English)

Bordism theory is a central object in algebraic topology. By now quite a few bordism invariants are known, e.g., Adams e-invariant for (stably) framed bordism, rho-invariants for equivariant bordism and Kreck-Stolz invariants for some versions of Spin^c-bordism. Bunke recently gave a unified construction for the mentioned bordism invariants, namely he defined the universal eta-invariant. This ...

Abstract (English)

Bordism theory is a central object in algebraic topology.
By now quite a few bordism invariants are known, e.g., Adams e-invariant for (stably) framed bordism, rho-invariants for equivariant bordism and Kreck-Stolz invariants for some versions of Spin^c-bordism.
Bunke recently gave a unified construction for the mentioned bordism invariants, namely he defined the universal eta-invariant. This invariant is only defined on torsion elements in the particular bordism group.
On the other hand some of the above invariants, e.g., some rho-invariants, are also defined on non-torsion elements.
In this article we provide a non-canonical extension of the universal eta-invariant to non-torsion elements which we call intrinsic eta-invariant.

To this end we introduce a new tool called universal geometrization.
A universal geometrization is some data on a space B which generalizes the notion of universal connection in the case that B=BG is the classifying space of a compact Lie group.
The technical heart of this article is to show that such universal geometrization exists in many situations.
Moreover, we also classify these universal geometrizations and compute the intrinsic eta-invariant in examples.

In the last part of the article we give a topological computation of the t-invariant due to Crowley and Goette which relies on the universal eta-invariant. Since our calculation is purely topological it serves as check of the previous ones due to Crowley and Goette.

Translation of the abstract (German)

Bordismustheorie ist ein zentrales Objekt in der algebraischen Topologie. Heute sind einige Bordismusinvarianten bekannt, z.B. Adams e-Invariante für (stabil) gerahmten Bordismus, rho-Invarianten für equivarianten Bordismus and Kreck-Stolz-Invarianten für verschiedene Versionen von Spin^c-Bordismus. Bunke gab kürzlich eine vereinheitlichte Konstruktion der genannten Bordismus-Invarianten, und ...

Translation of the abstract (German)

Bordismustheorie ist ein zentrales Objekt in der algebraischen Topologie.
Heute sind einige Bordismusinvarianten bekannt, z.B. Adams e-Invariante für (stabil) gerahmten Bordismus, rho-Invarianten für equivarianten Bordismus and Kreck-Stolz-Invarianten für verschiedene Versionen von Spin^c-Bordismus.
Bunke gab kürzlich eine vereinheitlichte Konstruktion der genannten Bordismus-Invarianten, und zwar definierte er die sogenannte universelle eta-Invariante. Diese Invariante ist nur auf dem Torsionelementen in der gegebenen Bordismus-Gruppe definiert.
Andererseits sind einige der genannten Bordismusinvarianten auch für nicht-torsions Elemente definiert, zum Beispiel einige rho-Invarianten..
In diesem Artikel konstruieren wir eine nicht-kanonische Erweiterungen der universellen eta-Invariante auf nicht-torsions Elemente, welche wir die intrinsische eta-Invariante nennen.

Hierzu führen wir ein neues Hilfsmittel ein, die sogenannten universellen Geometrisierungen.
Eine universelle Geometrisierungen ist ein Datum auf einem Raum B, welches den Begriff eines universellen Zusammenhangs verallgemeinert, falls B=BG der klassifizierende Raum einer kompakten Lie Gruppe ist.
Das technische Herz des vorliegenden Artikel ist zu zeigen, dass solche universellen Geometrisierungen in vielen Situation existieren.
Desweiteren klassifizieren wir diese universellen Geometrisierungen und berechnen die intrinsische eta-Invariante in Beispielen.

Im letzten Teil des Artikels geben wir eine topologische Berechnung der Crowley-Goette t-Invariante, welche auf der universellen eta-Invariante beruht. Da unsere Berechungen rein topologisch ist, dient sie Test der vorherigen Berechnungen von Crowley und Goette.

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