The heat flow for Dirac-harmonic maps

URN zum Zitieren dieses Dokuments:: urn:nbn:de:bvb:355-epub-380758
DOI zum Zitieren dieses Dokuments:: 10.5283/epub.38075

Wittmann, Johannes

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Veröffentlichungsdatum dieses Volltextes: 26 Nov 2018 10:12

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Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	26 November 2018
Begutachter (Erstgutachter):	Prof. Dr. Bernd Ammann
Tag der Prüfung:	8 November 2018
Institutionen:	Mathematik > Prof. Dr. Bernd Ammann
Stichwörter / Keywords:	heat flow, Dirac-harmonic maps, spin geometry, Banach manifolds
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	38075

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Zusammenfassung (Englisch)

Zusammenfassung (Englisch)

The main result of Chapter 1 is short time existence of the heat flow for Dirac-harmonic maps on closed manifolds. Dirac-harmonic maps are the critical points of a functional motivated by the supersymmetric non-linear sigma model from quantum field theory. Finding non-trivial examples for Dirac-harmonic maps turned out to be a rather challenging task and not many examples were known. With the aim to get a general existence program for Dirac-harmonic maps, the heat flow for Dirac-harmonic maps was introduced by Chen, Jost, Sun, and Zhu. The flow consists of a second order harmonic map type system coupled with a first order Dirac type system. For source manifolds with boundary Chen, Jost, Sun, and Zhu obtained short time existence. This heat flow approach to obtain Dirac-harmonic maps was fully legitimized when the existence of a global weak solution was established by Jost, Liu, and Zhu, from which they deduced existence results for Dirac-harmonic maps (for source manifolds with boundary). Our strategy to show short time existence on closed manifolds roughly is as follows: first, we solve the first order Dirac type system, then we take its solution, plug it into the second order harmonic map type system and solve the latter with a contraction argument. A main ingredient for the contraction argument are estimates for Dirac operators along maps which we will develop.

The subject of Chapter 2 is the existence and genericness of minimal kernels of Dirac operators along maps. In particular, the existence results we achieve yield many suitable initial values for the short time existence result of Chapter 1.

In Chapter 3 and 4 we deal with a certain Banach bundle that has as base space the Banach manifold of k-times continuously differentiable maps between a closed manifold and a connected manifold without boundary. These results are the basis of our original ansatz to solve the first order Dirac type system.

The content of Chapter 5 is the computation of the curvature of the Bourguignon-Gauduchon connection in the semi-Riemannian case. The Bourguignon-Gauduchon connection is an important tool that allows to compare spinors for different metrics. We use it for example in Chapter 2.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Das Hauptresultat von Kapitel 1 ist die Kurzzeitexistenz des Wärmeflusses für Dirac-harmonische Abbildungen auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Dirac-harmonische Abbildungen sind die kritischen Punkte von einem Funktional, welches motiviert ist durch das supersymmetrische nicht-lineare Sigma-Modell aus der Quantenfeldtheorie. Nicht-triviale Beispiele für Dirac-harmonische Abbildungen zu finden erwies sich als herausfordernde Aufgabe und nicht viele waren bekannt. Mit dem Ziel ein allgemeines Existenzprogramm für Dirac-harmonische Abbildungen zu erhalten, wurde der Wärmefluss für Dirac-harmonische Abbildungen von Chen, Jost, Sun und Zhu eingeführt. Dieser Fluss besteht aus einem System zweiter Ordnung (genauer einem System das Ähnlichkeit hat mit einem Wärmefluss für harmonische Abbildungen), welches gekoppelt ist mit einem Dirac-artigen System erster Ordnung. Für Mannigfaltigkeiten mit Rand wurde die Kurzzeitexistenz von Chen, Jost, Sun und Zhu gezeigt. Dieser Wärmefluss-Ansatz wurde vollständig legitimiert, als die Existenz einer globalen schwachen Lösung von Jost, Liu und Zhu gezeigt wurde, aus der sie Existenzresultate für Dirac-harmonische Abbildungen folgerten (für Mannigfaltigkeiten mit Rand). Unsere Strategie, um Kurzzeitexistenz auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten zu zeigen, lässt sich grob wie folgt beschreiben: zunächst lösen wir das Dirac-artige System erster Ordnung, setzen dessen Lösung in das System zweiter Ordnung ein und lösen dieses dann durch ein Kontraktionsargument. Ein wesentlicher Bestandteil des Kontraktionsarguments sind Abschätzungen für Dirac Operatoren entlang Abbildungen, welche wir zeigen werden.

Das Thema von Kapitel 2 ist die Existenz und Generizität von minimalen Kernen von Dirac Operatoren entlang Abbildungen. Insbesondere liefern die Existenzresultate viele passende Anfangswerte für die in Kapitel 1 gezeigte Kurzzeitexistenz.

In den Kapiteln 3 und 4 befassen wir uns mit einem gewissen Banachbündel, dessen Basisraum die Banachmannigfaltigkeit der k-mal stetig differenzierbaren Abbildungen zwischen einer geschlossenen Mannigfaltigkeit und einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Diese Resultate sind die Grundlage unseres ursprünglichen Ansatzes um das Dirac-artige System erster Ordnung zu lösen.

Der Inhalt von Kapitel 5 ist die Berechnung der Krümmung des Bourguignon-Gauduchon Zusammenhangs im semi-Riemannschen Fall. Der Bourguignon-Gauduchon Zusammenhang ist ein wichtiges Hilfsmittel, mit dem man Spinoren unterschiedlicher Metriken vergleichen kann. Wir verwenden ihn beispielsweise in Kapitel 2.

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