Coupled Evolution Equations for Immersions of Closed Manifolds and Vector Fields - Publikationsserver der Universität Regensburg

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	26 April 2019
Begutachter (Erstgutachter):	Prof. Dr. Georg Dolzmann
Tag der Prüfung:	13 Februar 2019
Institutionen:	Mathematik > Prof. Dr. Georg Dolzmann
Sonstige Projekte:	DFG Graduiertenkolleg 1692 “Curvature, Cycles, and Cohomology”
Stichwörter / Keywords:	Helfrich, geometric flow, biomembranes, coupled evolution, director fields, short time existence, well posednesss, stability
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	40098

Zusammenfassung (Englisch)

A possible description of the elastic energy of a biological membrane is given by the L 2 -distance of its mean curvature from a spontaneous curvature plus a topological constant. Such energy functional is often referred to as Helfrich energy. We study a generalization of this model, where the spontaneous curvature arises as the divergence of a vector field along the surface. An abstract ...

Zusammenfassung (Englisch)

A possible description of the elastic energy of a biological membrane is given by the L 2 -distance of its mean curvature from a spontaneous curvature plus a topological constant. Such energy functional is often referred to as Helfrich energy.
We study a generalization of this model, where the spontaneous curvature arises as the divergence of a vector field along the surface. An abstract formulation for immersions of manifolds of arbitrary dimension is derived.
For plane curves we prove for this energy functional the existence of global minimizers and regularity of stationary points subject to different constraints. The constraints we considered are the length and enclosed signed area of the curve and the range of the vector field.
Furthermore, we derive a gradient-flow equation in the general situation of immersions of manifolds of arbitrary space dimension which leads to a coupled system of partial differential equations. For this coupled system we show local well-posedness even for a constraint preserving adaption of the flow.
Moreover, we show a Łojasiewicz-Simon gradient inequality for the unrestricted functional as well as in the presence of constraints. From this we draw conclusions about the asymptotic behavior of the flow close to a local minimizer.
For curves and vector fields in the euclidean plane we introduce a geometric quantity whose smallness guarantees smoothness of the flow. By a rescaling argument we achieve that even finiteness of this quantity suffices to exclude the formation of singularities.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Eine mögliche Beschreibung der elastischen Energie einer Biomembran ist durch den L 2 -Abstand der mittleren Krümmung von einer spontanen Krümmung plus einer topologischen Konstante gegeben. Ein solches Energiefunktional wird oft als Helfrich Energie bezeichnet. Wir untersuchen eine Erweiterung dieser Modellierung, bei der die spontane Krümmung durch die Oberflächendivergenz eines Vektorfeldes ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Eine mögliche Beschreibung der elastischen Energie einer Biomembran ist durch den L 2 -Abstand der mittleren Krümmung von einer spontanen Krümmung plus einer topologischen Konstante gegeben. Ein solches Energiefunktional wird oft als Helfrich Energie bezeichnet.
Wir untersuchen eine Erweiterung dieser Modellierung, bei der die spontane Krümmung durch die Oberflächendivergenz eines Vektorfeldes entlang der Fläche gegeben ist. Eine abstrakte Formulierung für Immersionen von Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension wird hergeleitet.
Für Kurven in der euklidischen Ebene zeigen wir für dieses Funktional Existenz von globalen Minimierern und Regularität von stationären Punkten unter den verschiedenen Nebenbedingungen. Mögliche Nebenbedingungen sind die Länge der Kurve, der von der Kurve eingeschlossenen
Flächeninhalt und der Bildbereich des Vektorfeldes.
Außerdem leiten wir für Immersionen von Mannigfaltigkeiten beliebiger Raumdimension eine Gradientenflussdynamik her, die auf ein gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen führt. Für dieses gekoppelte System zeigen wir lokale Wohlgestelltheit auch im Fall, dass der
Fluss die Nebenbedingungen erhält.
Weiterhin zeigen wir für das uneingeschränkte Funktional sowie unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen eine Łojasiewicz-Simon Gradientenungleichung, aus welcher man dann Rückschlüsse auf das asymptotische Verhalten des Flusses nahe lokaler Minimierer ziehen kann.
Für Kurven und Vektorfelder in der Ebene geben wir eine geometrische Größe an, deren Kleinheit Glattheit des Flusses garantiert. Durch Reskalieren erreichen wir, dass es bereits ausreicht, dass diese Größe endlich ist, um Singularitäten auszuschließen.

Coupled Evolution Equations for Immersions of Closed Manifolds
and Vector Fields

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