On continuous K-theory and cohomology of rigid spaces

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	9 September 2019
Referee:	Prof. Dr. Moritz Kerz
Date of exam:	25 July 2019
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Moritz Kerz
Keywords:	K-theory, Nonarchimedean Geometry, Zariski-Riemann spaces
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	40692

Abstract (English)

This thesis establishes a connection between continuous K-theory on the one hand and cohomology of rigid spaces on the other hand. Given an rigid analytic space over a complete discretely valued field, its continuous K-groups vanish in degrees below the negative of the dimension. Likewise, the cohomology groups vanish in degrees above the dimension. The main result of this thesis provides ...

Abstract (English)

This thesis establishes a connection between continuous K-theory on the one hand and cohomology of rigid spaces on the other hand.

Given an rigid analytic space over a complete discretely valued field, its continuous K-groups vanish in degrees below the negative of the dimension. Likewise, the cohomology groups vanish in degrees above the dimension.

The main result of this thesis provides the existence of an isomorphism between the lowest possibly non-vanishing continuous K-group and the highest possibly non-vanishing cohomology group with integral coefficients.

A key role in the proof is played by a comparison between cohomology groups of a Zariski-Riemann space with respect to different topologies; namely, the rh-topology which is related to K-theory as well as the Zariski topology whereon the cohomology groups in question rely.

Translation of the abstract (German)

In dieser Dissertation wird ein Zusammenhang zwischen stetiger K-Theorie auf der einen und der Kohomologie rigider Räume auf der anderen Seite etabliert. Für einen starr-analytischen Raum endlicher Dimension über einem vollständigen diskret bewerteten Körper verschwindet dessen stetige K-Theorie stets in den Graden unterhalb des Negativen der Dimension. Ebenfalls verschwinden stets die ...

Translation of the abstract (German)

In dieser Dissertation wird ein Zusammenhang zwischen stetiger K-Theorie auf der einen und der Kohomologie rigider Räume auf der anderen Seite etabliert.

Für einen starr-analytischen Raum endlicher Dimension über einem vollständigen diskret bewerteten Körper verschwindet dessen stetige K-Theorie stets in den Graden unterhalb des Negativen der Dimension. Ebenfalls verschwinden stets die Kohomologiegruppen in den Graden oberhalb der Dimension.

Bezüglich dieser Schranken besagt das Hauptresultat vorliegender Abhandlung, dass es einen Isomorphismus zwischen der niedrigsten möglicherweise nicht verschwindenden stetigen K-Gruppe und der höchsten möglicherweise nicht verschwindenden Kohomologiegruppe mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen gibt.

Eine entscheidende Rolle im Beweis des Hauptresultates spielt ein Vergleich von Kohomologiegruppen eines Zariski-Riemann-Raumes bezüglich verschiedener Topologien; und zwar der RH-Topologie, die einen Bezug zur K-Theorie hat, sowie der Zariski-Topologie, die besagten Kohomologiegruppen zugrunde liegt.

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