Sharp Interface Limits for Diffuse Interface Models with Contact Angle

URN zum Zitieren dieses Dokuments:: urn:nbn:de:bvb:355-epub-443894
DOI zum Zitieren dieses Dokuments:: 10.5283/epub.44389

Moser, Maximilian Jörg Josef

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Veröffentlichungsdatum dieses Volltextes: 18 Jan 2021 09:54

Details

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	18 Januar 2021
Begutachter (Erstgutachter):	Prof. Dr. Helmut Abels
Tag der Prüfung:	4 Dezember 2020
Institutionen:	Mathematik > Prof. Dr. Helmut Abels
Stichwörter / Keywords:	Sharp interface limit; mean curvature flow; contact angle; Allen-Cahn equation
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	44389

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Zusammenfassung (Englisch)

Zusammenfassung (Englisch)

We consider the sharp interface limit for the Allen-Cahn equation and some variants in a bounded smooth domain in the case of boundary contact. The Allen-Cahn equation is a diffuse interface model since (after a short generation time) solutions typically develop so-called diffuse interfaces, where the solution stays smooth but experiences steep gradients. Moreover, the equation contains a small parameter $\varepsilon>0$ that corresponds to the thickness of the diffuse interfaces. The limit $\varepsilon\rightarrow 0$ is called $\enquote$ {sharp interface limit} because - at least heuristically - the solutions should converge to step functions with the jump set evolving in time according to some sharp interface problem. We show the rigorous sharp interface limit, i.e.~that solutions to the diffuse interface and the sharp interface model are related rigorously. The results are local in time and applicable as long as a smooth solution to the limit problem exists.

We consider the following cases:
$\begin$ {itemize}
$\item$ Convergence of the Allen-Cahn equation with Neumann boundary condition to the mean curvature flow with $90^\circ$ -contact angle in any dimension $N\geq 2$ .
$\item$ Convergence of the vector-valued Allen-Cahn equation involving different choices for the potential and with Neumann boundary condition to the mean curvature flow with $90^\circ$ -contact angle in any dimension $N\geq 2$ , but without the triple junction situation. For this case we expect that a similar strategy works. We give some comments in this direction.
$\item$ Convergence of an Allen-Cahn equation with a non-linear Robin boundary condition to the mean curvature flow with an $\alpha$ -contact angle in 2D for $\alpha$ close to $90^\circ$ .
$\end$ {itemize}

For the convergence proofs we use the method of de Mottoni, Schatzman $\cite$ {deMS}, i.e.~we
$\begin$ {enumerate}
$\item$ Rigorously construct an approximate solution for the diffuse interface model with asymptotic expansions.
$\item$ Estimate the difference of the exact and approximate solution to the diffuse interface model with a spectral estimate for a linear operator associated to the model.
$\end$ {enumerate}

The major novelty in the thesis is the consideration of boundary contact for the diffuse interfaces within the method of $\cite$ {deMS}. Therefore we construct suitable curvilinear coordinates. Based on the latter we rigorously set up the asymptotic expansions. In this process new parameter-dependent elliptic problems on the half space in $\mathbb{R}^2$ appear. For the $90^\circ$ -case these problems are solved with a splitting method in exponentially weighted Sobolev spaces. The latter seems not possible for angles $\alpha\neq 90^\circ$ and we use the Implicit Function Theorem with respect to $\alpha$ in this case. Moreover, for the spectral estimate for the Allen-Cahn operator in every case (which is obtained by linearization at the approximate solution) we use a new idea: we construct an approximate first eigenfunction using asymptotic expansions. Then we split the space of $H^1$ -functions over the domain into a $\enquote$ {small} explicit space formally approximating the first eigenfunctions and the complementing space. Finally, we analyze the associated bilinear form on every part.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

Wir betrachten den scharfen Grenzschicht-Limes für die Allen-Cahn Gleichung und einige ihrer Varianten in einem beschränkten, glatten Gebiet im Fall von Randkontakt. Die Allen-Cahn Gleichung ist ein diffuses Grenzschicht-Modell, denn Lösungen der Gleichung bilden üblicherweise nach kurzer Zeit sogenannte diffuse Grenzschichten aus, in denen die Lösungen glatt bleiben, aber sich stark verändern. Hierbei enthält die Gleichung einen kleinen Parameter $\varepsilon>0$ , der proportional zur typischen Dicke der erzeugten diffusen Grenzschichten ist. Der Limes $\varepsilon\rightarrow 0$ heißt~ $\glqq$ scharfer Grenzschicht-Limes $\grqq$ , da - zumindest heuristisch - die Lösungen gegen Treppenfunktionen konvergieren sollten, deren Sprung gemäß eines scharfen Grenzschicht-Modells in der Zeit evolviert. Wir zeigen den rigorosen scharfen Grenzschicht-Limes, d.h.~dass Lösungen des diffusen und des scharfen Grenzschicht-Problems rigoros in Beziehung gesetzt werden. Die Resultate gelten lokal in der Zeit und sind anwendbar solange eine glatte Lösung für das scharfe Grenzproblem existiert.

Wir betrachten die folgenden Fälle:
$\begin$ {itemize}
$\item$ Konvergenz der Allen-Cahn Gleichung mit Neumann-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsflüss mit $90^\circ$ -Kontaktwinkel für alle Dimensionen $N\geq 2$ .
$\item$ Konvergenz der vektor-wertigen Allen-Cahn Gleichung mit mehreren Wahlen für das Potential und Neumann-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsflüss mit $90^\circ$ -Kontaktwinkel für alle Dimensionen $N\geq 2$ , jedoch ohne den Fall von Tripel-Punkten. In diesem Fall erwarten wir, dass eine ähnliche Strategie funktioniert und wir bemerken einige Ideen hierzu.
$\item$ Konvergenz der Allen-Cahn Gleichung mit nichtlinearer Robin-Randbedingung gegen den mittleren Krümmungsfluss mit $\alpha$ -Kontaktwinkel in 2D für $\alpha$ nahe $90^\circ$ .
$\end$ {itemize}

Für die Konvergenzresultate nutzen wir die Methode von de Mottoni, Schatzman $\cite$ {deMS}, d.h.~wir
$\begin$ {enumerate}
$\item$ Konstruieren rigoros eine Approximationslösung für das diffuse Grenzschicht-Modell mit Hilfe von asymptotischen Entwicklungen.
$\item$ Schätzen die Differenz der exakten Lösung und der Approximationslösung zum diffusen Grenzschicht-Modell ab, indem wir eine Spektralabschätzung für einen linearen Operator nutzen, der in natürlicher Weise zum Modell gehört.
$\end$ {enumerate}

Die zentrale Neuheit in der Arbeit ist das Betrachten von Randkontakt für die diffuse Grenzschicht im Kontext der Methode von de Mottoni, Schatzman $\cite$ {deMS}. Zu diesem Zweck konstruieren wir geeignete krummlinige Koordinaten und bauen darauf die rigorosen asymptotischen Entwicklungen auf. Dabei kommen neue parameterabhängige elliptische Probleme auf dem Halbraum im $\mathbb{R}^2$ vor. Im $90^\circ$ -Fall lösen wir diese mit einer Aufspaltungsmethode in exponentiell gewichteten Sobolev-Räumen. Letzteres scheint nicht möglich für $\alpha\neq 90^\circ$ , weshalb wir in diesem Fall den Satz von der Impliziten Funktion bezüglich $\alpha$ verwenden. Außerdem nutzen wir für die Spektralabschätzung des Allen-Cahn-Operators in jedem Fall (diesen erhält man durch Linearisierung an der Approximationslösung) eine neue Idee: wir konstruieren eine approximative erste Eigenfunktion mittels asymptotischer Entwicklungen. Dann teilen wir den Raum der $H^1$ -Funktionen über dem Gebiet auf in einen~ $\glqq$ kleineren $\grqq$ ~expliziten Raum, der formal die ersten Eigenfunktionen approximiert, und dessen Komplementärraum. Dann analysieren wir die zugehörige Bilinearform auf den jeweiligen Teilräumen.