| License: Publishing license for publications excluding print on demand (2MB) |
- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-445843
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.44584
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) | ||||||||||||
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| Open Access Type: | Primary Publication | ||||||||||||
| Date: | 27 January 2021 | ||||||||||||
| Referee: | Prof. Dr. Harald Garcke | ||||||||||||
| Date of exam: | 3 December 2020 | ||||||||||||
| Institutions: | Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Harald Garcke | ||||||||||||
| Classification: |
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| Keywords: | Geometric evolution equations; Willmore flow; Parabolic systems of fourth order; Networks | ||||||||||||
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 510 Mathematics | ||||||||||||
| Status: | Published | ||||||||||||
| Refereed: | Yes, this version has been refereed | ||||||||||||
| Created at the University of Regensburg: | Yes | ||||||||||||
| Item ID: | 44584 |
Abstract (English)
Geometric gradient flows of energy functionals involving the curvature of a given object have become an indispensable tool both to understand problems in pure mathematics and to model a wide range of phenomena in the natural sciences. A prominent example of such a functional is the Willmore energy which is given by the integrated squared mean curvature of the given surface. Its L²-gradient flow, ...
Abstract (English)
Geometric gradient flows of energy functionals involving the curvature of a given object have become an indispensable tool both to understand problems in pure mathematics and to model a wide range of phenomena in the natural sciences. A prominent example of such a functional is the Willmore energy which is given by the integrated squared mean curvature of the given surface. Its L²-gradient flow, the Willmore flow, is a parabolic quasilinear evolution law of fourth order.
While there is an abundance of results on the behaviour of curves and closed surfaces, there remains a huge number of open questions regarding boundary value problems for the Willmore flow.
The first part of the thesis is devoted to the Willmore flow of two- or higher-dimensional immersed compact open hypersurfaces in Euclidean space with Navier boundary conditions which demand the boundary to remain fixed during the evolution and the mean curvature to vanish on the boundary.
We initiate the research on this flow showing existence of strong solutions in anisotropic Sobolev spaces given a sufficiently smooth initial surface that has zero mean curvature on the boundary and is close to an appropriate reference manifold. The regularity of the initial immersion corresponds to the trace space of the solution space. Considering motions that are given as graphs over the fixed reference geometry we may write the evolution in terms of a scalar function describing the position of the evolving surface with respect to the reference manifold. The required analysis is technically elaborate as the evolution needs to be translated to local charts.
In the second part of the thesis we study planar networks composed of three immersed curves that meet in one or two triple junctions and may or may not have endpoints fixed in the plane. The elastic energy of such a configuration is given by the sum of the Willmore energies of the single curves each containing a positively weighted length penalisation term.
Its L²-gradient flow leads to a system of Willmore type evolution laws with natural nonlinear coupled boundary conditions. Hereby, the curves need to stay attached but the junctions are allowed to move.
The major difficulties lie in the tangential degrees of freedom which are due to geometric nature of the problem.
We show existence of solutions in the strong and classical sense, namely in anisotropic Sobolev spaces and parabolic Hölder spaces. In both cases compatibility and regularity assumptions on the initial network are required. We further establish uniqueness of solutions in both function space settings in a purely geometric sense showing that any two observable motions solving the flow are reparametrisations of each other. The parabolic nature of the problem allows us to show in addition that solutions are smooth for positive times.
As a main result we show that the flow exists globally in time if the length of each curve remains uniformly bounded away from zero and if at least one angle at the triple junction stays uniformly bounded away from zero, π and 2π . The proof relies on energy estimates and the existence of solutions in the Sobolev setting on time intervals of uniform length quantifiable in terms of the initial network.
Translation of the abstract (German)
Geometrische Gradientenflüsse von Krümmungsenergien sind ein unentbehrliches Hilfsmittel, sowohl zum Verständnis von Fragestellungen in der reinen Mathematik als auch zur Modellierung eines breiten Spektrums von Phänomenen in den Naturwissenschaften. Ein bekanntes Beispiel solcher Energiefunktionale ist die Willmore-Energie, die durch die integrierte quadrierte mittlere Krümmung der betrachteten ...
Translation of the abstract (German)
Geometrische Gradientenflüsse von Krümmungsenergien sind ein unentbehrliches Hilfsmittel, sowohl zum Verständnis von Fragestellungen in der reinen Mathematik als auch zur Modellierung eines breiten Spektrums von Phänomenen in den Naturwissenschaften. Ein bekanntes Beispiel solcher Energiefunktionale ist die Willmore-Energie, die durch die integrierte quadrierte mittlere Krümmung der betrachteten Fläche gegeben ist. Der zugehörige L²-Gradientenfluss, Willmore-Fluss genannt, ist eine parabolische quasilineare Evolutionsgleichung vierter Ordnung.
Gegenüber einer Fülle an Resultaten über das Verhalten von Kurven und geschlossenen Flächen gibt es eine Vielzahl offener Probleme über Randwertprobleme für den Willmore-Fluss.
Der erste Teil der Arbeit befasst sich mit dem Willmore-Fluss von zwei- oder höherdimensionalen immersierten kompakten offenen Hyperflächen im Euklidischen Raum mit Navier-Randbedingungen, die der Forderung entsprechen, dass der Rand während der Evolution fixiert bleibt und die mittlere Krümmung am Rand verschwindet.
Wir beginnen die Forschung zu diesem Fluss, indem wir Existenz starker Lösungen in anisotropen Sobolevräumen zeigen für hinreichend glatte Anfangsflächen, deren mittlere Krümmung am Rand verschwindet und die nahe an einer geeigneten Referenzmannigfaltigkeit liegen. Die Regularität der Immersion zum Anfangszeitpunkt entspricht dem Spurraum des Lösungsraums. Indem wir Bewegungen betrachten, die als Graph über einer fixierten Referenzgeometrie gegeben sind, können wir die Evolution mittels einer skalarwertigen Funktion ausdrücken, die die Position der evolvierenden Fläche zur Referenzmannigfaltigkeit beschreibt. Die benötigte Analysis ist technisch aufwendig, da die Evolution in lokalen Koordinaten betrachtet werden muss.
Im zweiten Teil der Arbeit studieren wir planare Netzwerke zusammengesetzt aus drei immersierten Kurven, die sich in einem oder zwei Tripelpunkten treffen, wobei im ersten Fall die verbleibenden Endpunkte fixiert sind. Die elastische Energie einer solchen Konfiguration ist durch die Summe der Willmore-Energien der einzelnen Kurven gegeben, die jede einen positiv gewichteten Term beinhalten, der die Länge der jeweiligen Kurve bestraft. Der zugehörige L²-Gradientenfluss führt zu einem System von Willmore-ähnlichen Evolutionsgleichungen mit natürlichen nichtlinearen gekoppelten Randbedingungen.
Die Tripelpunkte müssen dabei erhalten bleiben, dürfen sich jedoch bewegen. Die hauptsächlichen Schwierigkeiten liegen in den aufgrund der geometrischen Natur des Problems auftretenden tangentialen Freiheitsgraden.
Wir zeigen Existenz von Lösungen im starken und klassischen Sinne, nämlich in anisotropen Sobolevräumen und in parabolischen Hölderräumen. In beiden Fällen werden Kompatibilitäts- und Regularitätsbedingungen an das Anfangsnetzwerk benötigt. Außerdem weisen wir geometrische Eindeutigkeit von Lösungen sowohl in Hölder- als auch in Sobolevräumen nach, indem wir zeigen, dass zwei beobachtbare Lösungen des Flusses durch Umparametrisierung ineinander überführt werden können. Die parabolische Struktur des Problems erlaubt es uns außerdem zu zeigen, dass Lösungen für positive Zeiten glatt sind.
Als Hauptresultat zeigen wir, dass der Fluss für alle Zeiten existiert, sofern die Länge jeder Kurve nach unten durch eine positive Zahl beschränkt bleibt und solange sich an jedem Tripelpunkt wenigstens ein Winkel in einem zeitunabhängigen, abgeschlossenen Teilintervall von (0,π ) befindet.
Der Beweis basiert auf Energieabschätzungen und der Existenz von Lösungen in Sobolevräumen in gleichmäßigen, mittels einer Norm des Anfangswertes quantifizierbaren Zeitintervallen.
Metadata last modified: 27 Jan 2021 14:29
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