Abstract (German)
In dieser Arbeit studieren wir das zweidimensionale, mehrphasige Muskat Problem, welches die Dynamik eines Systems, das aus drei Fluiden besteht, in einem vertikalen porösen Medium unter dem Einfluss von Gravitation beschreibt. Dieses Thema ist in vielen Anwendungen, aber auch aus mathematischer Sicht von großem Interesse.
Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit dem mehrphasigen ...
Abstract (German)
In dieser Arbeit studieren wir das zweidimensionale, mehrphasige Muskat Problem, welches die Dynamik eines Systems, das aus drei Fluiden besteht, in einem vertikalen porösen Medium unter dem Einfluss von Gravitation beschreibt. Dieses Thema ist in vielen Anwendungen, aber auch aus mathematischer Sicht von großem Interesse.
Im ersten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit dem mehrphasigen Muskat Problem mit gleichwertigen Viskositäten. Als erstes Ergebnis beweisen wir, dass das Geschwindigkeitsfeld in jeder Fluidphase explizit mittels Konturintegralen, die durch die Funktionen beschrieben werden, die die Oberflächen zwischen den Fluiden parametrisieren, gegeben ist. Basierend auf dieser Eigenschaft drücken wir die klassische Formulierung des mehrphasigen Muskat Problems als eine nicht-lineare und nicht-lokale Evolutionsgleichung für das Funktionenpaar, das die freien Oberflächen parametrisiert, aus. Nachdem wir zeigen, dass das Problem in dem Fall, in dem die Fluide vertikal geordnet sind nach deren Dichte, mit den Fluiden mit größerer Dichte weiter unten gelegen, parabolisch ist, beweisen wir die lokale Wohlgestelltheit des Problems zusammen mit zwei parabolischen Glättungseffekten. Des Weiteren schließen wir für Lösungen, die nicht global existieren, aber im Phasenraum beschränkt sind, das Auftreten von Squirt-Singularitäten aus, das heißt die Fluidoberflächen können sich nicht entlang eines Kurvenabschnittes berühren.
Im zweiten Teil der Arbeit beweisen wir das erste lokale Wohlgestelltheitsresultat für das mehrphasige Muskat Problem mit allgemeinen Viskositäten. Durch Ausnutzen von zugrundeliegenden Rellich-Identitäten in dem Fall, in dem die Viskositäten geordnet sind, und mit Hilfe eines Neumann-Reihen Arguments, in dem Fall, in dem die Fluide nicht nach deren Viskositäten geordnet sind, zeigen wir wieder, dass die Geschwindigkeit mittels Konturintegralen beschrieben werden kann, welche das Funktionenpaar, das die freien Oberflächen parametrisiert, enthalten. Eine neue Eigenschaft ist nun, dass diese Integrale eine Dichtefunktion, die nicht-lokal von diesem Paar abhängt, beinhaltet. Das ermöglicht uns das Problem als nicht-lineares und nicht-lokales Evolutionsproblem für die Funktionen, die die Fluidoberflächen parametrisieren, zu reformulieren. Dieses Evolutionsproblem ist parabolisch in der offenen Menge, welche durch die klassischen Rayleigh--Taylor Bedingungen identifiziert ist. Diese Eigenschaft ist Hauptbestandteil des Beweises des lokalen Wohlgestelltheitsresultates, und wir beweisen auch in dieser Konfiguration für die Lösungen des Problems parabolische Glättungseffekte.
Translation of the abstract (English)
In this thesis we study the two-dimensional multiphase Muskat problem which describes the dynamics in a three fluids system located in a vertical porous medium under the effect of gravity. This topic is of great interest in many applications, but also from a mathematical point of view.
In the first part of the thesis we consider the multiphase Muskat problem with equal viscosities. As a first ...
Translation of the abstract (English)
In this thesis we study the two-dimensional multiphase Muskat problem which describes the dynamics in a three fluids system located in a vertical porous medium under the effect of gravity. This topic is of great interest in many applications, but also from a mathematical point of view.
In the first part of the thesis we consider the multiphase Muskat problem with equal viscosities. As a first result, we prove that the velocity field in each fluid phase is explicitly identified in terms of contour integrals described by the functions that parameterize the interfaces between the fluids. Based on this feature, we express the classical formulation of the multiphase Muskat problem as a nonlinear and nonlocal evolution equation for the pair of functions that parameterize the free interfaces. After showing that this problem is parabolic in the regime where the fluids are arranged vertically according to their density, with the fluids possessing larger densities located below, we then establish the local well-posedness of the problem together with two parabolic smoothing properties.
Moreover, for solutions which are not global, but bounded in the phase spaces, we exclude the occurrence of squirt singularities, that is the fluid interfaces cannot touch along a curve segment when time elapses.
In the second part of the thesis we establish the first local well-posedness result for the multiphase Muskat problem with general viscosities. Employing underlying Rellich identities in the regime where the viscosities are ordered and a Neumann series argument when the fluids are not ordered according to their viscosities, we show again that the velocity is given by contour integrals which involve the pair of functions that parameterize the free interfaces. As a new feature these integrals comprise a density function which depends nonlocally on this pair. This enables us to formulate the problem as a nonlinear and nonlocal evolution problem for the functions that parameterize the fluid interfaces, which is of parabolic type in the regime where the classical Rayleigh--Taylor condition is satisfied at each interface. This aspect is the main ingredient in the proof of the local well-posedness result, and we establish parabolic smoothing properties for the solutions to the problem also in this setting.
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