We show that the canonical subset, which is defined as support of a canonical measure on an irreducible closed subvariety of an abelian variety over an algebraically closed non-trivially valued non-archimedean field with respect to an ample line bundle, is a piecewise linear space which is rational with respect to the value group of the mentioned field. This is a generalization of a work of Gubler, where it is also assumed that the absolute value on the above field is induced by a discrete valuation.

Furthermore, we will introduce so-called toric metrics, which are defined as the invariant continuous metrics under the natural torus action on the abelian variety provided by Raynaud’s uniformization theory. We will then generalize a result of Gubler which gives an explicit formula for the non-archimedean Monge-Ampère measure with respect to the pull-back of a canonical metric along a certain strictly semi-stable alteration. This will be done with regards to three aspects: Firstly, we will prove the result more generally for semi-positive toric metrics instead of canonical metrics. Secondly, we will drop the additional assumption that the absolute value is induced by a discrete valuation. And thirdly, we will replace strictly semi-stable alterations by strictly poly-stable alterations.

This implies that a polytopal decomposition of the canonical subset exists such that on its polytopes the non-archimedean Monge-Ampère measure with respect to a semi-positive toric metric equals a non-negative rational multiple of the real Monge-Ampère measure with respect to a certain convex function induced by the semi-positive toric metric.

Wir zeigen, dass die kanonische Teilmenge, die als der Träger eines kanonischen Maßes auf einer irreduziblen abgeschlossenen Untervarietät einer abelschen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen nicht-trivial bewerteten nicht-archimedischen Körper bezüglich eines amplen Geradenbündels definiert ist, ein stückweise linearer Raum ist, der rational bezüglich der Bewertungsgruppe des erwähnten Körpers ist. Dies stellt eine Verallgemeinerung einer Arbeit Gublers dar, in der darüber hinaus angenommen wird, dass der Absolutbetrag auf dem obigen Körper von einer diskreten Bewertung induziert wird.

Des Weiteren führen wir sogenannte torische Metriken ein, die als die stetigen Metriken definiert sind, welche unter der natürlichen Torusoperation auf der abelschen Varietät, gegeben durch Raynauds Uniformisierungstheorie, invariant bleiben. Anschließend verallgemeinern wir ein Ergebnis von Gubler, welches eine explizite Formel für das nicht-archimedische Monge-Ampère-Maß bezüglich eines Rücktransports einer kanonischen Metrik entlang einer bestimmten strikt semistabilen Alterierung angibt. Dies wird unter drei Gesichtspunkten getan: Erstens beweisen wir das Resultat allgemeiner für semipositive torische statt kanonische Metriken. Zweitens lassen wir die zusätzliche Annahme fallen, dass der Absolutbetrag von einer diskreten Bewertung induziert wird. Drittens ersetzen wir strikt semistabile Alterierungen durch strikt polystabile Alterierungen.

Dies impliziert die Existenz einer polytopalen Zerlegung der kanonischen Teilmenge mit der Eigenschaft, dass auf seinen Polytopen das nicht-archimedische Monge-Ampère-Maß bezüglich einer semipositiven torischen Metrik einem nicht-negativen rationalen Vielfachen des reellen Monge-Ampère-Maßes bezüglich einer von dieser Metrik induzierten konvexen Funktion entspricht.