We consider a variety of shape and topology optimization problems in which the cost functional always contains a finite selection of eigenvalues of the shape that is to be optimized.
The governing state equations in our framework are either the Laplace equation with Dirichlet or Neumann boundary data or the equations of linear elasticity with mixed boundary data. The control variable is given in the framework of a diffuse interface approach as a possibly vector-valued phase-field variable, allowing for structures to be composed of multiple materials.
In a first step, in each case, we analyze the continuity and differentiablity of the involved eigenvalues and eigenfunctions in order to arrive at well-posedness of the associated optimization problem and first order necessary optimality conditions. Subsequently, we perform the sharp-interface limit in order to link the diffuse interface approach with optimization problems which only involve phases in their pure form, i.e., we analyze the limit passage when the thickness of the diffuse interface gets infinitesimally small.
In the case of the Dirichlet--Laplacian we will rigorously perform this limit in the sense of Gamma-convergence.
The theory developed here allows us to state a novel phase-field version of the Faber--Krahn theorem which then in the limit provides a version of the Faber--Krahn theorem in the class of functions of bounded variation.
In the setting of linear elasticity we will apply the ansatz of formally matched asymptotic expansions in order to derive the sharp-interface problem including first-order conditions.
Eventually, we present and discuss several numerical simulations for concrete spectral optimization problems.

Wir betrachten diverse Probleme der Form- und Topologieoptimierung in denen das Zielfunktional immer eine endliche Auswahl an Eigenwerten der Form beinhaltet, welche optimiert werden soll. Die zugrundeliegenden Zustandsgleichungen unseres Modells sind entweder die Laplace Gleichung mit Dirichlet oder Neumann Randwerten oder die Gleichungen der linearen Elastizität mit gemischten Randdaten. Die Kontrollvariable ist im Rahmen des Ansatzes diffuser Grenzschichten als gegebenenfalls vektorwertiges Phasenfeld gegeben. Dies ermöglicht die Konstruktion von Strukturen aus mehreren Materialien.
Zunächst analysieren wir jeweils die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der involvierten Eigenwerte und Eigenfunktionen, um zur Wohlgestelltheit des zugehörigen Optimierungsproblems und notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung zu gelangen. Daraufhin studieren wir den sogenannten "scharfen Grenzschicht Limes" um die diffusen Grenzschichtmodelle mit Optimierungsproblemen in Verbindung zu bringen, welche die Phasen ausschließlich in ihrer Reinform beinhalten, d.h. wir analysieren denjenigen Grenzübergang für den die Dicke der diffusen Grenzschicht beliebig klein wird.
Im Falle des Dirichlet--Laplace werden wir diesen Grenzübergang rigoros im Sinne der Gamma-Konvergenz durchführen.
Die hier entwickelte Theorie erlaubt es uns eine neuartige Phasenfeld Version des Faber--Krahn Theorems herzuleiten, welche uns dann im Grenzwert eine Version des Faber--Krahn Theorems in der Klasse der Funktionen mit beschränkter Variation liefert.
Im Kontext der linearen Elastizität werden wir den Ansatz der formalen asymptotischen Entwicklungen nutzen, um das zugehörige scharfe Grenzschicht Problem inklusive ersten Ordnungbedingungen herzuleiten.
Abschließend diskutieren wir diverse numerische Simulationen für konkrete Eigenwertoptimierungsprobleme.