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- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-546767
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.54676
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) | ||||||||||||||
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| Open Access Type: | Primary Publication | ||||||||||||||
| Series of the University of Regensburg: | Dissertationsreihe der Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg | ||||||||||||||
| Date: | 8 September 2023 | ||||||||||||||
| Referee: | Prof. Dr. Helmut Abels and Prof. Dr. Matthias Hieber | ||||||||||||||
| Date of exam: | 26 July 2023 | ||||||||||||||
| Institutions: | Mathematics > Prof. Dr. Helmut Abels | ||||||||||||||
| Related URLs: |
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| Classification: |
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| Keywords: | Fluid-structure interaction; Two-phase flow; Growth; Free boundary value problem; Maximal regularity; Viscoelasticity; Diffuse interface model | ||||||||||||||
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 510 Mathematics | ||||||||||||||
| Status: | Published | ||||||||||||||
| Refereed: | Yes, this version has been refereed | ||||||||||||||
| Created at the University of Regensburg: | Yes | ||||||||||||||
| Item ID: | 54676 |
Abstract (English)
In this thesis, we study systems of nonlinear partial differential equations from applied science by mathematical analysis tools. First, we focus on the local well-posedness of a series of fluid-structure interaction problems (FSI), which arise from plaque formation during the stage of the atherosclerotic lesion in human arteries. The blood is modeled by the incompressible Navier–Stokes ...
Abstract (English)
In this thesis, we study systems of nonlinear partial differential equations from applied science by mathematical analysis tools.
First, we focus on the local well-posedness of a series of fluid-structure interaction problems (FSI), which arise from plaque formation during the stage of the atherosclerotic lesion in human arteries. The blood is modeled by the incompressible Navier–Stokes equation, while the motion of the vessel is captured by nonlinear elasticity. The growth occurs when both cells in fluid and solid react, diffuse, and transport across the interface, resulting in the accumulation of foam cells, which are exactly seen as the plaques. We consider the following situations:
• A fluid-structure interaction problem with growth (FSIG) in a smooth domain with a kind of linearized Kelvin–Voigt viscoelasticity, including biochemical interactions and growth effects.
• A fluid-structure interaction problem with growth (FSIG) in a cylindrical domain, where fixed ninety-degree contact angles are concerned, leading to more difficulties for the analysis.
• A quasi-stationary fluid-structure interaction problem with growth (QFSIG) in a smooth domain, where the elasticity is assumed to be an equilibrium for each time, and the linearized system is a parabolic-elliptic mixed-type problem.
The proofs rely on a fixed-point argument, where the most crucial part is the analysis of the linearized systems, which causes remarkable differences and technical difficulties in different cases. In the last part, we establish the existence of global weak solutions to a diffuse interface model of incompressible viscoelastic flows, which is in fact, a model proposed originally to handle the problem of fluid-structure interaction. More specifically, the fluids are assumed to be macroscopically immiscible, but with a small transition region, where the two components are partially mixed. Considering the elasticity of both components, one ends up with a coupled Oldroyd-B/Cahn–Hilliard type system, which describes the behavior of two-phase viscoelastic fluids. In particular cases by choosing suitable coefficients, one can recover the fluid-phase and elastic-phase respectively. We prove the existence of weak solutions to the system in two dimensions for general (unmatched) mass densities, variable viscosities, different shear moduli, and a class of physically relevant and singular free energy densities that guarantee that the order parameter stays in the physically reasonable interval. To this end, we propose a novel regularization of the original system and a new hybrid implicit time discretization for the regularized system, while new compactness arguments are used to pass to the final limit.
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit untersuchen wir Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen aus den angewandten Wissenschaften mit Methoden der mathematischen Analysis. Zunächst konzentrieren wir uns auf die lokale Wohlgestelltheit einer Reihe von Fluid-StrukturInteraktionsproblemen (FSI), die sich aus der Plaquebildung während des Stadiums der atherosklerotischen Läsion in menschlichen ...
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit untersuchen wir Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen aus den angewandten Wissenschaften mit Methoden der mathematischen Analysis.
Zunächst konzentrieren wir uns auf die lokale Wohlgestelltheit einer Reihe von Fluid-StrukturInteraktionsproblemen (FSI), die sich aus der Plaquebildung während des Stadiums der atherosklerotischen Läsion in menschlichen Arterien ergeben. Das Blut wird durch die inkompressible Navier–Stokes-Gleichung modelliert, während die Bewegung des Gefäßes durch eine nichtlineare Elastizitätsgleichung erfasst wird. Das Wachstum tritt auf, wenn sowohl Zellen in Flüssigkeit als auch in festem Material reagieren, diffundieren und über die Grenzfläche transportiert werden, was zu einer Ansammlung von Schaumzellen führt, die in Form von Plaque zu sehen sind. Wir betrachten die folgenden Situationen:
• Ein Fluid-Struktur-Interaktionsproblem mit Wachstum (FSIG) in einem glatten Gebiet mit einer Art linearisierter Kelvin–Voigt-Viskoelastizität, einschließlich biochemischer Wechselwirkungen und Wachstumseffekte.
• Ein Fluid-Struktur-Wechselwirkungsproblem mit Wachstum (FSIG) in einem zylindrischen Gebiet, bei dem feste Neunzig-Grad-Kontaktwinkel betrachtet werden, was zu größeren Schwierigkeiten bei der Analyse führt.
• Ein quasistationäres Fluid-Struktur-Interaktionsproblem mit Wachstum (QFSIG) in einem glatten Gebiet, bei dem die Elastizität für jede Zeit als Gleichgewicht angenommen wird und das linearisierte System ein parabolisch-elliptisches Problem gemischten Typs ist.
Die Beweise beruhen auf einem Fixpunktargument, wobei der wichtigste Teil die Analyse der linearisierten Systeme ist, die in verschiedenen Fällen bemerkenswerte Unterschiede aufweisen und zu technischen Schwierigkeiten führen.
Im letzten Teil wird die Existenz globaler schwacher Lösungen für ein diffuses Grenzflächenmodell für inkompressible viskoelastische Strömungen nachgewiesen. Genauer gesagt wird davon ausgegangen, dass die Flüssigkeiten makroskopisch nicht mischbar sind, jedoch mit einem kleinen Übergangsbereich, in dem die beiden Komponenten teilweise vermischt sind. Berücksichtigt man die Elastizität beider Komponenten, so erhält man ein gekoppeltes System vom Typ OldroydB/Cahn–Hilliard, das das Verhalten zweiphasiger viskoelastischer Fluide beschreibt. In bestimmten Fällen kann man durch die Wahl geeigneter Koeffzienten die flüssige und die elastische Phase beschreiben. Wir beweisen die Existenz schwacher Lösungen des Systems in zwei Dimensionen für allgemeine (verschiedene) Massendichten, variable Viskositäten, verschiedene Schermodule und eine Klasse physikalisch relevanter, singulärer freier Energiedichten, die garantieren, dass der Ordnungsparameter im physikalisch sinnvollen Intervall bleibt. Zu diesem Zweck schlagen wir eine neuartige Regularisierung des ursprünglichen Systems und eine neue hybride implizite Zeitdiskretisierung für das regularisierte System vor, während neue Kompaktheitsargumente verwendet werden, um letztendlich zur Grenze überzugehen.
Metadata last modified: 08 Sep 2023 09:24
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