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- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-764422
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.76442
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) |
|---|---|
| Open Access Type: | Primary Publication |
| Date: | 31 March 2025 |
| Referee: | Prof. Dr. Stefan Krauss and Prof. Dr. Joachim Engel |
| Date of exam: | 21 February 2025 |
| Institutions: | Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Stefan Krauss |
| Keywords: | Didaktik, Mathematik, Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Flipped Classroom, Stochatische Unabhängigkeit |
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 510 Mathematics |
| Status: | Published |
| Refereed: | Yes, this version has been refereed |
| Created at the University of Regensburg: | Yes |
| Item ID: | 76442 |
Abstract (German)
Sprachliche Formulierungen, die relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten beinhalten, werden häufig schlecht verstanden. Dabei können solche Ausdrücke nicht nur in komplexen Bayesianischen Kontexten Probleme bereiten, sondern schon die isolierte Betrachtung eines einzelnen Merkmals (z. B. die Angabe 40 %) oder deren einfache Kombination im Sinne von „Anteile von Anteilen“ (z. B. 20 % von 50 ...
Abstract (German)
Sprachliche Formulierungen, die relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten beinhalten, werden häufig schlecht verstanden. Dabei können solche Ausdrücke nicht nur in komplexen Bayesianischen Kontexten Probleme bereiten, sondern schon die isolierte Betrachtung eines einzelnen Merkmals (z. B. die Angabe 40 %) oder deren einfache Kombination im Sinne von „Anteile von Anteilen“ (z. B. 20 % von 50 %) ist nicht trivial. In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Strategien entwickelt und evaluiert, wie das Verstehen von relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten erleichtert werden kann. Dabei werden zum einen numerische Darstellungsarten wie beispielsweise gewöhnliche Brüche oder Prozentangaben in den Blick genommen und zum anderen Visualisierungen wie Baumdiagramme, Vierfeldertafeln oder das Häufigkeitsnetz zur Unterstützung herangezogen.
Im ersten Artikel werden numerische Darstellungsarten relativer Häufigkeiten aus fachdidaktischer Sicht thematisiert. Im Wesentlichen unterscheidet die vorliegende Arbeit dabei gewöhnliche Brüche (z. B. 1/4), Dezimalbrüche (z. B. 0,25), Prozente (z. B. 25 %), natürliche Häufigkeiten (1 von 4), die „zu“- Schreibweise (z. B. die Chance von 1 zu 3) und „Jeder Wievielte“ (z. B. Jeder Vierte). Alle sechs Darstellungsarten relativer Häufigkeiten werden zunächst aus theoretischer Perspektive betrachtet. Die Notwendigkeit einer systematischen Einführung auch der letzten drei im schulischen Unterricht bislang eher unüblichen Schreibweisen wird durch eine kleinere Studie motiviert, in der (bei N = 79 Schülerinnen und Schülern) mangelhafte Kompetenzen zur wechselseitigen Umrechnung der verschiedenen Darstellungen festgestellt werden. Anschließend werden zwei mögliche unterrichtliche Zugänge vorgestellt und didaktisch diskutiert. Beiden Zugängen ist gemein, dass die Anzahl der zu erlernenden potentiell möglichen Darstellungswechsel reduziert wird. Beim ersten, kalkülorientierten Zugang wird die Darstellungsart gewöhnliche Brüche ins Zentrum gestellt. Der zweite, verständnisorientierte Zugang basiert auf dem Konzept der natürlichen Häufigkeiten, wobei die verschiedenen Umrechnungen jeweils mithilfe möglicher Grundvorstellungen erläutert werden.
Der im Rahmen des ersten Artikels entwickelte verständnisorientierte Zugang (auf der Basis natürlicher Häufigkeiten) wurde schließlich für den zweiten Artikel noch einmal konkretisiert und als Unterrichtssequenz von vier Mathematikstunden detailliert ausgearbeitet. Als Teil des fächerübergreifenden Projekts FALKE-d wurde diese Sequenz in drei Experimentalbedingungen (zwei im Flipped Classroom Setting, eine im traditionellen Setting) bei insgesamt N = 950 Schülerinnen und Schülern der 6. bzw. 7. Jahrgangsstufe umgesetzt. Das Verständnis der Darstellungsarten – wieder operationalisiert durch die Kompetenz zu deren wechselseitiger Umrechnung – konnte durch den zweiten Zugang in allen Bedingungen signifikant gesteigert werden. Darüber hinaus zeigt sich, wie bereits zu Beginn des Artikels vermutet, dass die Flipped Classroom Methode bei jungen Schülerinnen und Schülern der Unterstufe vor allem dann erfolgreich ist, wenn die häusliche Arbeit mit Erklärvideos durch vorherige Erläuterungen spezifischer Lernstrategien zum Umgang mit den Videos durch die Lehrkraft unterstützt wird.
Im dritten Artikel wird eine Doppeldeutigkeit des scheinbar einfachen Ausdrucks „Prozent von Prozent“ (z. B. 20 % von 50 %) herausgearbeitet, der sowohl bei Anteilen als auch bei Wahrscheinlichkeiten auftreten kann. Das „von“ muss je nach Kontext als Multiplikation (= 10 %) oder als Division (= 40 %) gedeutet werden. Diese Doppeldeutigkeit wird anschließend in der „Anteilswelt“ mithilfe der Grundgleichung der Prozentrechnung und in der „Wahrscheinlichkeitswelt“ anhand der Begriffe „bedingte Wahrscheinlichkeit“ bzw. „Wahrscheinlichkeit des Schnitts von Ereignissen“ erklärt. Weiterhin wird erläutert, wie sich verschiedene Visualisierungen (Häufigkeitsnetz, Baumdiagramm und Vierfeldertafel) zur Illustration der beiden Interpretationen eignen. Während im Baumdiagramm die Multiplikationsinterpretation dargestellt werden kann, eignet sich die Vierfeldertafel zur Illustration der Divisionsinterpretation. Nur mit dem Häufigkeitsnetz können beide Interpretationen gleichzeitig dargestellt und kontrastiert werden.
Im vierten Artikel werden Bayesianische Situationen betrachtet. In einer empirischen Studie mit N = 249 Studierenden verschiedener Fachrichtungen wird hierbei der Einfluss der beiden numerischen Darstellungsarten Prozent und natürliche Häufigkeiten sowie verschiedener Visualisierungen (Häufigkeitsnetz, Doppelbaumdiagramm, Vierfeldertafel vs. reine Textform) auf das Verständnis untersucht und typische Fehler beschrieben. Hierbei konnten – neben einer Replikation des Häufigkeitseffekts bei Fragen zu bedingten Wahrscheinlichkeiten – verschiedene systematische Fehler identifiziert werden, die jedoch ebenfalls mit dem numerischen Informationsformat interagieren. Darüber hinaus hat sich gezeigt, dass das den Versuchspersonen bisher unbekannte Häufigkeitsnetz intuitiv verstanden wird.
Im fünften Artikel wird das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse aus stoffdidaktischer Sicht beleuchtet, indem mögliche Definitionen (über Multiplikation oder über bedingte Wahrscheinlichkeiten) gegenübergestellt und deren Auftreten in Visualisierungen (Häufigkeitsnetz, Baumdiagramm, Doppelbaumdiagramm, Vierfeldertafel und Einheitsquadrat) diskutiert werden. Ähnlich wie im dritten Artikel zeigt sich auch hier, dass das noch relative neue Häufigkeitsnetz gut zur Illustration der stochastischen Unabhängigkeit geeignet ist.
Aus Sicht der beiden Gegenüberstellungen „ein Merkmal“ vs. „zwei Merkmale“ sowie „Anteile“ vs. „Wahrscheinlichkeiten“ lassen sich die fünf Artikel folgendermaßen einordnen:
In den ersten beiden Artikeln der kumulativen Dissertation wird jeweils ein Merkmal sowie dessen relative Häufigkeit (d.h., Anteile) betrachtet. Im dritten Artikel wird das Auftreten zweier Merkmale in den Blick genommen, wobei der Fokus auch auf Wahrscheinlichkeiten ausgedehnt wird. Die letzten beiden Artikel konzentrieren sich dann auf die gleichzeitige Betrachtung zweier Merkmale in der Wahrscheinlichkeitswelt, wobei im vierten Artikel Bayesianische Situationen im Vordergrund stehen und im fünften Artikel das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit fokussiert wird.
Neue Elemente in der vorliegenden Dissertation sind vor allem die stoffdidaktische Beschreibung einer unterrichtlichen Einführung der Umrechnung der sechs numerischen Darstellungsarten mit folgender empirischer Analyse sowie theoretische und empirische Untersuchungen der Visualisierung Häufigkeitsnetz in verschiedenen Situationen.
Translation of the abstract (English)
Linguistic expressions involving relative frequencies and probabilities often prove challenging to understand, even in simple cases such as isolated percentages (e.g., 40%) or nested percentages (e.g., 20% of 50%). This dissertation aims to develop and evaluate strategies to improve the understanding of such expressions. The study examines both numerical formats (e.g., fractions, percentages) and ...
Translation of the abstract (English)
Linguistic expressions involving relative frequencies and probabilities often prove challenging to understand, even in simple cases such as isolated percentages (e.g., 40%) or nested percentages (e.g., 20% of 50%). This dissertation aims to develop and evaluate strategies to improve the understanding of such expressions. The study examines both numerical formats (e.g., fractions, percentages) and visual representations (e.g., tree diagrams, 2 × 2 tables, frequency nets).
The first article presents a didactic analysis of numerical representations of relative frequencies. It evaluates six formats: common fractions (e.g., "1/4”), decimal fractions (e.g., "0.25”), percentages (e.g., "25%”), natural frequencies (e.g., "1 out of 4”), odds (e.g., "1 to 3"), and the “notation with every” (e.g., "every fourth"). A small-scale study (N = 79) was conducted to assess students' difficulties in converting between these representations, leading to the development of a systematic instructional approach. Two teaching strategies are introduced: one approach only focusing on procedural skills centered on fractions and one approach focusing on conceptual knowledge using natural frequencies.
The second article delineates a four-lesson instructional sequence designed to systematically teach the six formats of relative frequencies, building on the comprehension-based approach introduced in the first article. This sequence was tested in three experimental conditions (two flipped-classroom, one traditional) with N = 950 students (grades 6–7). The findings of this study indicate significant improvements across all conditions, with the flipped-classroom approach proving most effective when supplemented with explicit learning strategies.
The third article investigates the ambiguity of the expression "percent of percent" (e.g., 20% of 50%), which may imply multiplication (10%) or division (40%) depending on the context. This distinction is clarified using percentage equations and probability concepts. The analysis of different visual representations (frequency nets, tree diagrams, 2 × 2 tables, euler diagrams) highlights the unique ability of frequency nets to depict both interpretations simultaneously.
The fourth article presents an empirical study (N = 249) on Bayesian reasoning, focusing on the effects of numerical formats (percentages vs. natural frequencies) and visual representations (frequency nets, tree diagrams, 2 × 2 tables) on comprehension. The results confirm the frequency effect and reveal systematic errors influenced by numerical format. The frequency net proves particularly intuitive.
The fifth article explores the concept of stochastic independence, comparing definitions based on multiplication and conditional probabilities. It examines their representation in visual formats and identifies the frequency net as especially effective in illustrating stochastic independence.
In conclusion, this dissertation systematically examines numerical and visual representations of relative frequencies and probabilities, with a strong focus on instructional strategies and the empirical validation of frequency nets in various probabilistic contexts.
Metadata last modified: 31 Mar 2025 06:43
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