Internal Higher Categories and Applications

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	27 March 2025
Referee:	Prof. Dr. Denis-Charles Cisinski
Date of exam:	20 December 2024
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Denis-Charles Cisinski
Projects:	SFB 1085: Höhere Invarianten – Wechselwirkungen zwischen Globaler Analysis und Arithmetischer Geometrie Funded by: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) (224262486)
Keywords:	Internal higher Category Theory, Higher Topos theory, étale homotopy type.
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	76465

Abstract (English)

The goal of this thesis is to develop the theory of infinity-categories internal to an arbitrary infinity-topos B. These objects can be defined as complete Segal objects in B or equivalently as sheaves of infinity-categories on B, and we will simply refer to them as B-categories for short. Here we develop an extensive amount of tools that are needed to efficiently work with these objects in ...

Abstract (English)

The goal of this thesis is to develop the theory of infinity-categories internal to an arbitrary infinity-topos B.
These objects can be defined as complete Segal objects in B or equivalently as sheaves of infinity-categories on B, and we will simply refer to them as B-categories for short. Here we develop an extensive amount of tools that are needed to efficiently work with these objects in practice.

Beginning with the theory of adjunctions, we define notions of limits and colimits in B-categories and prove that presheaf $ B-categories are free cocompletions. We continue by developing a theory of accessible and presentable B-categories and finally we study B-topoi. Here one of our main results is that B-topoi are equivalent to relative topoi over B, so geometric morphism with target B. We then apply this result to study smooth and proper geometric morphisms of infinity-topoi from an internal point of view. We conclude with an application in étale homotopy theory where we use some of our machinery to construct and understand a condensed refinement of the usual étale homotopy type of schemes. [math mode missing closing $]

Translation of the abstract (German)

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Theorie der unendlich-Kategorien intern zu einem beliebigen unendlich-Topos B zu entwickeln. Diese Objekte können als vollständige Segal-Objekte in B oder äquivalent als Garben von unendlich-Kategorien auf B definiert werden, und wir bezeichnen sie einfach als B-Kategorien. In dieser Arbeit entwickeln wir eine umfangreiche Sammlung von Werkzeugen, die benötigt ...

Translation of the abstract (German)

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Theorie der unendlich-Kategorien intern zu einem beliebigen unendlich-Topos B zu entwickeln. Diese Objekte können als vollständige Segal-Objekte in B oder äquivalent als Garben von unendlich-Kategorien auf B definiert werden, und wir bezeichnen sie einfach als
B-Kategorien. In dieser Arbeit entwickeln wir eine umfangreiche Sammlung von Werkzeugen, die benötigt werden, um mit diesen Objekten in der Praxis effizient zu arbeiten.

Ausgehend von der Theorie der Adjunktionen definieren wir Begriffe von Limiten und Kolimiten in B-Kategorien und zeigen, dass Prägarben-B-Kategorien freie Kovervollständigungen sind. Anschließend entwickeln wir eine Theorie der zugänglichen und präsentierbaren B-Kategorien und untersuchen schließlich B-Topoi. Eines unserer Hauptresultate hier ist, dass
B-Topoi äquivalent zu relativen Topoi über B sind, also zu geometrischen Morphismen mit Ziel B. Dieses Resultat wenden wir dann an, um glatte und eigentliche geometrische Morphismen von unendlich-Topoi aus einer internen Perspektive zu untersuchen.

Abschließend präsentieren wir eine Anwendung in der étalen Homotopietheorie, in der wir einige unserer entwickelten Methoden nutzen, um eine kondensierte Verfeinerung des üblichen étalen Homotopietyps von Schemata zu konstruieren und zu untersuchen.

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