This thesis is mainly concerned with vanishing results for Betti number and torsion homology gradients.Inspired by inheritance results for classical homological properties, we consider the notion of an equivariantly bootstrappable property. Roughly speaking, equivariantly bootstrappable properties are classes of chain complexes over group rings satisfying inheritance axioms for the degree, suspensions, mapping cones, and inductions. From these axioms, we obtain the Bootstrapping Theorem: We can demonstrate that a group has a given bootstrappable property by constructing an action on a CW-complex with suitable stabilisers.

As a main example of a bootstrappable property, we consider the algebraic cheap rebuilding property. It is inspired by Abert-Bergeron-Fraczyk-Gaboriaus's (geometric) cheap rebuilding property. Like geometric cheap rebuilding, algebraic cheap rebuilding implies the vanishing of Betti number gradients and torsion homology gradients. We show that all infinite amenable groups have the algebraic cheap weak rebuilding property, thus recovering a result by Kar--Kropholler--Nikolov that the torsion homology gradients of amenable groups vanish.

In degree 1, we extend vanishing results to the class of inner-amenable groups. We use a structure theorem of Tucker-Drob to obtain suitable subgroups, to which we can apply the Bootstrapping Theorem.

In Chapter 4, we consider the two dynamical constants measured embedding dimension and measured embedding volume, which provide upper bounds on the Betti number gradient resp. the torsion homology gradient. The main result of that section is the monotonicity of measured embedding dimension and measured embedding volume under weak containment. This theorem provides upper bounds on (torsion) homology growth that are independent of the fixed residual chain.

Diese Arbeit befasst sich hauptsächlich mit Verschwindungsergebnissen für Betti-Zahl- und Torsionshomologiegradienten. Inspiriert von Vererbungsergebnissen für klassische homologische Eigenschaften betrachten wir den Begriff der äquivarianten Bootstrapping-Eigenschaft. Äquivariante Bootstrapping-Eigenschaften sind, grob gesagt, Klassen von Kettenkomplexen über Gruppenringen, die Vererbungsaxiome für Grad, Einhängungen, Abbildungskegel und Induktionen erfüllen. Aus diesen Axiomen leiten wir das Bootstrapping-Theorem ab: Wir können zeigen, dass eine Gruppe eine gegebene Bootstrapping-Eigenschaft besitzt, indem wir eine Wirkung auf einen CW-Komplex mit geeigneten Stabilisatoren konstruieren.

Als Hauptbeispiel einer Bootstrapping-Eigenschaft betrachten wir die algebraische cheap rebuilding-Eigenschaft. Sie ist inspiriert von der (geometrischen) cheap rebuilding-Eigenschaft von Abert-Bergeron-Fraczyk-Gaboriaus. Wie die geometrische cheap rebuilding-Eigenschaft impliziert auch die algebraische cheap rebuilding-Eigenschaft das Verschwinden von Betti-Zahlgradienten und Torsionshomologiegradienten. Wir zeigen, dass alle unendlichen amenablen Gruppen die Eigenschaft der algebraischen schwachen cheap rebuilding-Eigenschaft besitzen und stützen damit ein Ergebnis von Kar-Kropholler-Nikolov, wonach die Torsionshomologiegradienten amenabler Gruppen verschwinden.

Im ersten Grad erweitern wir die Ergebnisse des Verschwindens auf die Klasse der inner-amenablen Gruppen. Wir verwenden einen Struktursatz von Tucker-Drob, um geeignete Untergruppen zu erhalten, auf die wir das Bootstrapping-Theorem anwenden können.

In Kapitel 4 betrachten wir die beiden dynamischen Konstanten gemessene Einbettungsdimension und gemessenes Einbettungsvolumen, die Obergrenzen für den Betti-Zahlgradienten bzw. den Torsionshomologiegradienten liefern. Das Hauptergebnis dieses Abschnitts ist die Monotonie der gemessenen Einbettungsdimension und des gemessenen Einbettungsvolumens unter schwachem Enthaltensein. Dieser Satz liefert Obergrenzen für das (Torsions-)Homologiewachstum, die unabhängig von der fixierten residuelle Kette sind.