A Vanishing Theorem for Donaldson Invariants

Dokumentenart:	Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation)
Open Access Art:	Primärpublikation
Datum:	17 Februar 2026
Begutachter (Erstgutachter):	Ass. Prof. Raphael Zentner und Prof. Dr. Bernd Ammann
Tag der Prüfung:	20 Februar 2025
Institutionen:	Mathematik
Stichwörter / Keywords:	Eichtheorie, Gauge Theory, Niedrigdimensionale Topologie, Low Dimensional Topology
Dewey-Dezimal-Klassifikation:	500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Status:	Veröffentlicht
Begutachtet:	Ja, diese Version wurde begutachtet
An der Universität Regensburg entstanden:	Ja
Dokumenten-ID:	78700

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis, we investigate the conjecture that rational homology 3-spheres that admit taut foliations must also admit irreducible SU(2)-representations. Rational homology 3-spheres with taut foliations embed into 4-manifolds with non-vanishing Donaldson invariants as separating hypersurface. The main result of this thesis shows that if a 4-manifold is split by a rational homology ...

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis, we investigate the conjecture that rational homology 3-spheres that admit taut foliations must also admit irreducible SU(2)-representations.
Rational homology 3-spheres with taut foliations embed into 4-manifolds with non-vanishing Donaldson invariants as separating hypersurface.
The main result of this thesis shows that if a 4-manifold is split by a rational homology 3-sphere whose perturbed SU(2)-representation variety (the critical set of the perturbed Chern-Simons functional) has only reducible points, then that 4-manifold's Donaldson invariants must vanish. This establishes the conjecture under an additional assumption about holonomy perturbations.
The proof is based on a compactness argument, a dimension count and the invariance of Donaldson's invariants under certain perturbations. The assumption on reducibility of critical points is reflected in a positive defect in a dimension sum formula, which forces the dimension of certain moduli spaces to be negative.

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Dissertation untersuchen wir die Vermutung, dass rationale Homologie-3-Sphären, die eine straffe Blätterung tragen, auch irreduzible SU(2)-Darstellungen zulassen. Rationale Homologie-3-Sphären mit straffen Blätterungen lassen sich als trennende Hyperflächen in 4-Mannigfaltigkeiten mit nichtverschwindenden Donaldson-Invarianten einbetten. Das Hauptergebnis dieser Arbeit zeigt: ...

Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Dissertation untersuchen wir die Vermutung, dass rationale Homologie-3-Sphären, die eine straffe Blätterung tragen, auch irreduzible SU(2)-Darstellungen zulassen.

Rationale Homologie-3-Sphären mit straffen Blätterungen lassen sich als trennende Hyperflächen in 4-Mannigfaltigkeiten mit nichtverschwindenden Donaldson-Invarianten einbetten.

Das Hauptergebnis dieser Arbeit zeigt: Enthält eine 4-Mannigfaltigkeit durch eine rationale Homologie-3-Sphäre als trennende Hyperfläche, deren gestörte SU(2)-Darstellungsvarietät (die kritische Menge des gestörten Chern-Simons-Funktionals) ausschließlich aus reduziblen Punkten besteht, dann verschwinden die Donaldson-Invarianten dieser 4-Mannigfaltigkeit. Damit wird die Vermutung unter einer zusätzlichen Annahme über Holonomie-Störungen bestätigt.

Der Beweis basiert auf einem Kompaktheits- und einem Dimensionszählungsargument sowie der Invarianz der Donaldson-Invarianten unter bestimmten Störungen. Die Annahme, dass alle kritischen Punkte reduzibel sind, äußert sich in einem positiven Defekt in einer Dimensionssummenformel, was erzwingt, dass die Dimension bestimmter Modulräume negativ ist.

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